高中数学人教A版（2019）必修一第五章三角函数

试卷更新日期：2021-11-17 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (6 \sin 30 ° ， 2 \cos 120 °)$ ，则 $\sin α - 2 \cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{10}}{10}$

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2. 已知 $\tan α = \frac{3}{4}$ ， $\frac{2 \sin (π - α) + 3 \cos (- α)}{3 \cos (\frac{π}{2} - α) + \sin (\frac{π}{2} + α)}$ 的值是（）

A、 $\frac{18}{5}$ B、 $- \frac{6}{5}$ C、 $\frac{18}{13}$ D、 $\frac{6}{13}$

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3. 设 $α$ 为锐角，若 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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4. 函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $y = \cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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5. 已知 $0 < β < \frac{π}{4} < a < \frac{π}{2}$ ，且 $\sin α - \cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (β + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ 则 $\sin (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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6. 函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{3} - 3 x)$ 的单调递减区间是（）

A、 $[\frac{2 k π}{3} - \frac{π}{18} ， \frac{2 k π}{3}] (k \in Z)$ B、 $[\frac{2 k π}{3} ， \frac{2 k π}{3} + \frac{5 π}{18}] (k \in Z)$ C、 $[\frac{2 k π}{3} - \frac{π}{18} ， \frac{2 k π}{3} + \frac{5 π}{18}] (k \in Z)$ D、 $[\frac{2 k π}{3} + \frac{5 π}{6} ， \frac{2 k π}{3} + \frac{11 π}{6}] (k \in Z)$

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7. 为了得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，可作如下变换（）

A、将y＝cosx的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变而得到 B、将y＝cosx的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到 C、将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度而得到 D、将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度而得到

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8. 若 $f (x) = cos x - sin x$ 在 $[- a ， a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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二、多选题

9. 下列函数，最小正周期为 $π$ 的有（）

A、 $y = \sin | x |$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = 2 \cos x - 1$ D、 $y = \sin (\frac{π}{3} - 2 x)$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 满足 $f (\frac{5 π}{8} - x) = f (\frac{5 π}{8} + x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{12})$ 的图像 C、若 $ω > 0$ 时，函数 $f (ω x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递减，则实数 $ω$ 的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{8}]$ D、函数 $y = f (x) + f (2 x - \frac{π}{8})$ 的值域为 $[- \frac{9}{8} ， 2]$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，将 $y = f (x)$ 图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 $2$ 倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象．若 $y = g (x)$ 为偶函数，且最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{24} ， 0)$ 对称 B、 $y = f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{24})$ 上单调递增 C、 $y = f (x)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ D、 $y = - g (x)$ 在 $(\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{4})$ 上有 $3$ 个零点

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12. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $f (2021 π) = 1$ C、函数 $y = | f (x) |$ 为偶函数 D、 $\forall x \in R ， f (\frac{π}{6} + x) + f (\frac{π}{6} - x) = 0$

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三、填空题

13. 已知扇形面积为 $\frac{3 π}{8}$ ，半径是1，则扇形圆心角的弧度数是.

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14. 函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为.

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15. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，将 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小正值为.

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16. 给出以下三个结论：①函数 $y = sin x$ 与 $y = {log}_{π} x$ 的图象只有一个交点；②函数 $y = sin x$ 与 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的图象有无数个交点；③函数 $y = sin x$ 与 $y = x$ 的图象有三个交点，其中所有正确结论的序号为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) \sin (x - \frac{π}{4})$

(1)、求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若0＜A＜ $\frac{π}{2}$ ，且 $f (\frac{A}{2}) = \frac{1}{3}$ ，求cosA的值．

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18. 已知函数 $f (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{3}) \sin x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) + 2 \cos^{2} \frac{ω x + φ}{2} - 1 (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 图象的相邻两个最高点的距离为 $π$ ．

(1)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象．求函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值和最小值．

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20. 函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1$ （ $A > 0 ， ω > 0$ ）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $α$ 的值

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21. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，函数 $y = f (x - \frac{π}{12})$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍(纵坐标不变)，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，证明：当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $2 g^{2} (x) - g (x) - 1 \leq 0$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + a$ ，且当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的最小值为2.

(1)、求 $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $g (x) \geq 4$ 的 $x$ 的集合.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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