山东省潍坊市奎文区等六区联考2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数y= $\sqrt{x - 1}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、x＞1 B、x≥1 C、x＜1 D、x≤1

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2. 下列说法正确的是（）

A、“概率为0.0001的事件”是不可能事件 B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 D、“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件

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3. 如图， $⊙ O$ 的半径为3， $A B$ 为弦，若 $∠ A B C = 30 °$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $π$ B、1 C、1.5 D、 $1.5 π$

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4. 若关于x的一元二次方程 $(m + 1) x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m > - 2$ B、 $m \geq - 2$ C、 $m > - 2$ 且 $m \neq - 1$ D、 $m \geq - 2$ 且 $m \neq - 1$

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5. 点 $P_{1} (- 0.5 ， y_{1})$ ， $P_{2} (2.5 ， y_{2})$ ， $P_{3} (- 5 ， y_{3})$ 均在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{3} > y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{1} = y_{2} > y_{3}$

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6. 为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（）

A、4月份的利润为50万元 B、治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C、9月份该厂利润达到200万元 D、治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元

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7. 如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 $\overset{⌢}{D F}$ 上一点，则∠EPF的度数是（）

A、65° B、60° C、58° D、50°

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8. 数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（）

A、抛掷一枚硬币，正面向上的概率 B、抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率 C、从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率 D、两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率

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9. 函数 $y = - \frac{k}{x}$ 与 $y = k x^{2} - k (k \neq 0)$ 在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

10. 如图， $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 上的点， $D E / / A C$ ，且 $D$ 、 $E$ 分别为 $B A$ 、 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点，则下列结论正确的是（）

A、 $D E ： A C = 1 ： 3$ B、 $O D ： O C = 1 ： 2$ C、 $S_{△ B D E} ： S_{△ C D E} = 1 ： 2$ D、 $S_{△ D O E} ： S_{△ A O C} = 1 ： 4$

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11. 如图， $⊙ O$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 的外接圆，则下列四个结论中正确的是（）

A、 $\overset{⌢}{D F}$ 的度数为 $45 °$ B、 $A E = \sqrt{2} D F$ C、 $△ O D E$ 为等边三角形 D、 $S_{正八边形 A B C D E F G H} = A E \cdot D F$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为 $(2 ， 1)$ ，与 $x$ 轴的一个交点在点 $(3 ， 0)$ 和点 $(4 ， 0)$ 之间，给出的四个结论中正确的有（）

A、 $b^{2} < 4 a c$ B、 $a - b + c < 0$ C、 $c - 4 a = 1$ D、 $m \leq 1$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 有解

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三、填空题

13. 已知平行四边形 $A B C D$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 $D$ 的坐标为 $(- 12 ， 9)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 15 ， 0)$ ．以 $B$ 为位似中心，作平行四边形 $A B C D$ 的位似图形平行四边形 $E B F G$ ，位似图形与原图形的位似比为 $2 ： 3$ ，点 $C$ 的对应点为点 $F$ ，则点 $F$ 的坐标为．（写出一个即可）

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14. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 1011 x + 1010 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} =$ ．

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15. 如图，为了测量河宽 $C D$ ，先在A处测得对岸 $C$ 点在其北偏东 $30 °$ 方向，然后沿河岸直行100米到点 $B$ ，在 $B$ 点测得对岸 $C$ 点在其北偏西 $45 °$ 方向，则河宽 $C D$ 是米．（结果保留根号）

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16. 正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为．

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17. 如图，A、 $B$ 分别是反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 图象上的两点，连接OA， $O B$ ，分别过点A、 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $C$ 、 $E$ ，且 $A C$ 交 $O B$ 于点 $D$ ，若 $A D = C D$ ，则 $\frac{C D}{B E}$ 的值为．

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18. 如图， $A B$ 、 $C D$ 是半径为5的 $⊙ O$ 的两条弦， $A B = 8$ ， $C D = 6$ ， $M N$ 是直径， $A B ⊥ M N$ 于点 $E$ ， $C D ⊥ M N$ 于点 $F P C$ ， $P$ 为 $E F$ 上的任意一点，则 $P A + P C$ 的最小值为.

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四、解答题

19. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + m$ （ $m$ 为常数）．

(1)、若其图象与 $x$ 轴有两个交点，求 $m$ 的取值范围；

(2)、求其图象与直线 $y = m + 5$ 交点的横坐标．

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20. 某市为了解八年级学生数学学习状况，以2.5%的比例随机抽取了八年级部分学生进行了数学测试（满分100分），测试后将成绩绘制成两幅不完整的统计图表，如下图表所示，测试成绩中没有满分和低于20分的成绩．请根据统计图表中的信息解决下列问题：

八年级数学频数、频率分布表

分数段	频数	频率
$90 \leq x < 100$	2	0.008
$80 \leq x < 90$	8	0.032
$70 \leq x < 80$	$a$	$n$
$60 \leq x < 70$	85	0.340
$50 \leq x < 60$	$b$	0.260
$40 \leq x < 50$	48	0.192
$30 \leq x < 40$	5	0.020
$20 \leq x < 30$	2	0.008

(1)、直接写出表中

a

，

b

的值，并补全频数分布直方图；

(2)、若把成绩在

80 \leq x < 100

范围内的学生视为数学“特长生”，估计该市八年级学生中有多少名数学“特长生”？

(3)、在“

90 \leq x < 100

”和“

20 \leq x < 30

”分数段的4名同学中，男女各有2名，现从中随机选取两人进行座谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．

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21. 如图，一次函数 $y = m x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $O B = \sqrt{5}$ ，且点 $B$ 的横坐标是该点纵坐标的2倍．该一次函数与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标及一次函数的解析式；

(2)、求 $△ A B O$ 的面积 $S$ ；

(3)、直接写出不等式 $m x + b \geq \frac{m}{x}$ 的解集．

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22. 如图，矩形 $E F G H$ 内接于 $△ A B C$ （矩形各顶点在三角形边上）， $E$ ， $F$ 在 $B C$ 上， $H$ ， $G$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，且 $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，交 $H G$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $△ A H G \sim △ A B C$ ；

(2)、若 $A D = 3$ ， $B C = 9$ ，设 $E H = x$ ，矩形 $E F G H$ 的面积为 $y$ ，求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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23. 某公司推出一款电子产品，经市场调查发现，该产品的日销售量

y

（个）与销售单价

x

（元/个）之间满足一次函数关系．销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表：

销售单价 $x$ （元/个）	60	65	70	75
日销售量 $y$ （个）	180	130	80	30
日销售利润 $w$ （元）	1800	1950	1600	750

注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）

(1)、求

y

关于

x

的函数表达式；

(2)、该产品的成本价是 ▲ 元/个，求日销售利润

w

的最大值；

(3)、直接写出单价

x

满足什么条件时，销售利润不低于1920元．

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24. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，以 $A B$ 上某一点 $O$ 为圆心作 $⊙ O$ 使 $⊙ O$ 经过点 $A$ 和点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $E D$ 并延长交 $A C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、判断直线 $B C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A E = 12$ ， $C F = 3$ ，求 $B E$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，求阴影区域的面积．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．点 $P$ 是位于 $x$ 轴上方抛物线上的一个动点，过 $P$ 作 $P E ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $E$ 为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、是否存在点 $P$ ，使得四边形 $A B C P$ 的面积最大？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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