山东省威海市乳山市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$ 的顶点坐标是（）

A、（-1，3） B、（1，-3） C、（1，3） D、(-1，-3)

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2. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $\sin A = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos A$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{8}{13}$ C、 $\frac{13}{12}$ D、 $\frac{12}{13}$

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3. 一次函数 $y = a x - 2$ 和反比例函数 $y = \frac{b}{x}$ 的图象在同一坐标系中的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a > ， b > 0$ B、 $a > 0 ， b < 0$ C、 $a < 0 ， b < 0$ D、 $a < 0 ， b > 0$

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4. 如图， $A ， B ， D$ 为 $⊙ O$ 上的点， $∠ A O B = 52 °$ ，则 $∠ A D B$ 的度数是（）

A、 $13 °$ B、 $52 °$ C、 $38 °$ D、 $26 °$

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5. 抛物线y＝x²﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（）

A、m＞1 B、m＝1 C、m＜1 D、m＜4

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6. 一个三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则其表面积为（）

A、 $12 + 2 \sqrt{3}$ B、 $18 + \sqrt{3}$ C、 $18 + 2 \sqrt{3}$ D、 $12 + 4 \sqrt{3}$

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 的顶点 $C ， D$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上， $B D / / x$ 轴，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象过菱形的对称中心 $E$ ，若菱形的面积为 $8$ ，则该反比例函数的解析式为（）

A、 $y = \frac{4}{x}$ B、 $y = - \frac{4}{x}$ C、 $y = \frac{8}{x}$ D、 $y = - \frac{8}{x}$

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8. 如图，在 $2 \times 2$ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $1 ， A ， B ， C ， E$ 为格点． $⊙ O$ 为大正方形的内切圆， $B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，则 $\cos ∠ A E D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面 $C$ 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼地面 $D$ 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆 $A B$ 的高度为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $P$ 是直线 $y = 2$ 上的动点， $⊙ P$ 的半径为 $1$ ，直线 $O Q$ 与 $⊙ P$ 相切于点 $Q$ ，则线段 $O Q$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 如图，在半径为 $6$ 的 $⊙ O$ 中，点 $A$ 是劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，点 $D$ 是优弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点， $t a n D = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，下列结论正确的个数有：（）
① $B C = 6 \sqrt{3}$ ； ② $\sin ∠ A O B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ； ③四边形 $A B O C$ 是菱形；④劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度为 $4 π$ ．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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12. 二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $(- 3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，一次函数 $y_{2} = k x + n (k < 0)$ 的图象过点 $(- 3 ， 0)$ 和二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 图象的顶点．下列结论：（）
① $a b c < 0$ ；②若 $- 3 < x < - 1$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③若二次函数 $y_{1}$ 的值大于 $0$ ，则 $x > 1$ ；④过动点 $P (m ， 0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象的交点分别为 $C ， D$ ，当点 $C$ 位于点 $D$ 上方时， $m$ 的取值范围是 $m < - 3$ 或 $m > - 1$ ．

错误的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题

13. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3 (3 \leq x \leq 6)$ 的最小值是．

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14. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA= $\frac{3}{5}$ ，BE=4，则tan∠DBE的值是．

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15. 将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 绕原点 $O$ 旋转 $180 °$ ，得到的抛物线解析式为．

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16. 近视镜镜片焦距

y

（米）是镜片度数

x

（度）的某种函数，下表记录了一些数据：

$x$ （度）	…	$100$	$250$	$400$	$500$	…
$y$ （米）	…	$1.00$	$0.40$	$0.25$	$0.20$	…

利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为 $200$ 度时，镜片焦距为米．

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17. 将半径为12，圆心角为 $120 °$ 的扇形围成一个圆锥侧面，则此圆锥的高为．

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18. 反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 和 $y = \frac{1}{x}$ 在第一象限的图象如图所示．点 $A ， B$ 分别在 $y = \frac{3}{x}$ 和 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上， $A B / / y$ 轴，点 $C$ 是 $y$ 轴上的一个动点，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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三、解答题

19. 计算： $4 \sin 30^{°} - \sqrt{2} \cos 45^{°} - \sqrt{3} \tan 30^{°} + 2 \sin 60^{°}$

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20. 京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式.京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运.如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.

请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率.（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A₁、A₂ ，图案为“黑脸”的卡片记为B）

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21.
某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

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22. 如图， $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ y$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴上， $Δ A B C$ 的面积为2．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、已知 $O B = B A$ ，点 $P (m ， 1)$ 在该反比例函数的图象上，点 $Q$ 是 $x$ 轴上一动点，若 $Q A + Q P$ 最小，求点 $Q$ 的坐标．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，半径 $O E ⊥ A B$ ，交 $A B$ 于点 $G ， P$ 为 $A B$ 延长线上一点， $P C$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C ， C E$ 与 $A B$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $P C = P F$ ；

(2)、连接 $O B ， B C$ ，若 $O B / / P C ， B C = 3 \sqrt{2} ， \tan P = \frac{3}{4}$ ，求 $F B$ 的长．

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24. 已知抛物线 $y = a x 2 + c$ 经过点 $A (0, 2)$ 和点 $B (- 1, 0)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、将（1）中的抛物线平移，使其顶点坐标为 $(2, 1)$ ，平移后的抛物线与 $x$ 轴的两个交点分别为点 $C, D$ （点 $C$ 在点 $D$ 的左边）.求点 $C, D$ 的坐标；

(3)、将（1）中的抛物线平移，设其顶点的纵坐标为 $m$ ，平移后的抛物线与 $x$ 轴两个交点之间的距离为 $n$ .若 $1 < m \leq 5$ ，直接写出 $n$ 的取值范围.

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25. 阿基米德（ $Archimedes$ ，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯 $A1-Biruni$ （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，前苏联在1964年根据 $A1-Biruni$ 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图①，已知 $A B$ 和 $B C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦（即折线 $A B C$ 是 $⊙ O$ 的一条折弦）， $B C > A B ， M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点．那么从 $M$ 向 $B C$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $A B C$ 的中点，即 $C D = A B + B D$ ．

下面是运用“截长法”证明 $C D = A B + B D$ 的部分证明思路：

证明：如图②，在 $C B$ 上截取 $C G = A B$ ，连接 $M A ， M B$ ，……

……

(1)、（定理证明）
按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程．

(2)、（问题解决）
如图③，等边 $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B = 3 ， D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $∠ A C D = 45 °$ ．
求 $Δ B D C$ 的周长．

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