山东省青岛市市南区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图的一个几何体，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为（）

A、10个 B、20个 C、30个 D、40个

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3. 已知关于x的方程x²+2x+k＝0有实数根，则k的值为（）

A、k≤1 B、k＜1 C、k≥1 D、k＞1

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4. 反比例函数y $= - \frac{4}{x}$ 的图象上有三个点，分别是（x₁ ， y₁）（x₂ ， y₂）（x₃ ， y₃），若x₁＜0＜x₂＜x₃ ，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₂＜y₁＜y₃ C、y₃＜y₁＜y₂ D、y₂＜y₃＜y₁

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5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）

A、AB²＝AP²+BP² B、BP²＝AP•BA C、 $\frac{A P}{B P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{B P}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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6. 将函数y＝（x+1）²﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为（）

A、y＝（x﹣1）² B、y＝（x﹣1）²﹣8 C、y＝（x+3）² D、y＝（x+3）²﹣8

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7. 如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S_{四边形CDEF}＝5S_△ABF ，其中正确正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y $= \frac{a b}{x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} ， a - b + c = 18$ ，则 $a$ 的值为．

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10. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，某种药品原价198元/瓶，经过连续两次降价后，现仅售78元/瓶，假定两次降价的百分率相同，设该种药品平均每次降价的百分率为x，则列出的关于x方程为．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别在格点上，其中A（3，2）、B（1，﹣1）、C（4，0）．以点B为位似中心，在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A₁B₁C₁则点A的对应点A₁的坐标为．

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12. 在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝．

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13. 已知线段a的长度为11，现从1～10这10条整数线段中任取两条，能和线段a组成三角形的概率为．

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14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，E，F分别为对角线AC与边CD上的点，且AE＝CF，则BE+BF的最小值为．

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三、解答题

15. 已知：∠A和∠A一边上的点B．求作：▱ABCD，满足∠A是它的一个内角，且对角线BD⊥AD．

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16.

(1)、解方程：2x²+4x﹣3＝0；

(2)、计算：sin²45°+tan60°•cos30°．

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17. 为落实“十个一“活动，学校组建了多个志愿者服务队，小盖和小吕通过做游戏决定谁优先选择服务队，游戏规则：两人各掷一次质地均匀的骰子，如果掷出的点数之和是小于7的偶数，由小盖优先选择服务队；如果掷出的点数之和是大于6的奇数，由小吕优先选择服务队．请你利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏对双方是否公平．

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18. 小颖的数学学习日记：x月x日：测量旗杆的高度．

(1)、今天上午王老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆AB＝a，影长BC＝b，旗杆的影长DF＝c，则可求得旗杆DE的高度为．

(2)、但今天测量时，阴天没有阳光，就不能用以上的方案了．如图2所示，王老师将升旗用的绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高度吗？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45）请你回答小颖的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．

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19. 在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？

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20. 如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y $= \frac{m}{x}$ 交于点A、D，过D做DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S_△OAB：S_△ODE＝1：2．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、求点C的坐标．

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21. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，G、H分别为DE、BF的中点．

(1)、试判断四边形EHFG的形状，并证明；

(2)、若∠ABC＝90°，试判断四边形EHFG的形状并加以并证明．

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22. 某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．

(1)、求w与x之间的函数关系式；

(2)、该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)、该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．

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23. 问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S_△ADE ， S_△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？

(1)、问题解决：探究一：
①看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式： $\frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d}$ 而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{a^{2}}{{(a + b)}^{2}}$ ．根据上述这两个式子，可以推出： $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{a^{2}}{{(a + b)}^{2}} = \frac{a}{a + b} \cdot \frac{a}{a + b} = \frac{a}{a + b} \cdot \frac{c}{c + d} = \frac{a c}{(a + b) (c + d)}$ ．

②如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．

(2)、探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论： $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{a c}{(a + b) (c + d)}$ ？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得： $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A D C}} = \frac{\frac{1}{2} B D \cdot A H}{\frac{1}{2} D C \cdot A H} = \frac{B D}{D C}$ ．借用这个结论，请你解决最初的问题．
延伸探究：

①如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} =$ ．

②如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} =$ ．

(3)、结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是．

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24. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为AD中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

(1)、当PQ∥AE时，求t的值；

(2)、设四边形AEPQ的面积为y（cm²），试确定y与t的函数关系式；

(3)、在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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