山东省青岛市平度市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. tan30°的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 $20$ 个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在 $0.25$ 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）

A、5 B、10 C、12 D、15

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4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A、 $x^{2} + 1 = 2 x$ B、 $x^{2} + 1=0$ C、 $x^{2} - 2 x = 3$ D、 $x^{2} - 2 x = 0$

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5. 平度高铁通车后极大的方便了市民的出行．平度北站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为10⁶m³土石方的任务，该运输公司平均每天运送土石方的数量v（单位：m³/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）

A、 $v = 10^{6} t$ B、 $v = \frac{10^{6}}{t}$ C、 $v = \frac{t}{10^{6}}$ D、 $v = 10^{6} t^{2}$

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6. 一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）

A、一种 B、两种 C、三种 D、四种

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7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{18}{5}$ C、4 D、 $\frac{24}{5}$

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8. 如图 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边 $B C ， E F$ 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 $Δ A B C$ 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系中，将 $Δ A O B$ 以点 $O$ 为位似中心， $\frac{2}{3}$ 为位似比作位似变换，得到 $Δ A_{1} O B_{1}$ ．已知 $A (2 ， 3)$ ，则点 $A_{1}$ 的坐标是．

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10. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是．

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11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上， $∠ E F D ＝ 60 °$ ．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为．

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12. 如图，点A在反比例函数 $y_{1} = \frac{18}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴，垂足为B，交反比例函数 $y_{2} = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，PC，则 $△ A P C$ 的面积为．

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13. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序．

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三、解答题

14. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA $= \frac{4}{5}$ ，则BD的长度为．

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15. 已知：线段a和线段b．
求作：菱形ABCD，使AB=a，AC=b．

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16.

(1)、在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A，若点A的横坐标为1．求该二次函数的表达式．

(2)、若抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + c$ 经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m和n的大小，并说明理由．

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17. 2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．

(1)、小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？

(2)、用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．

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18. 如图，一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（－2，a）和点B（b，－1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，已知△AOC的面积为4．

(1)、分别求出a和b的值．

(2)、结合图象直接写出 $m x + n > \frac{k}{x}$ 中x的取值范围．

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19. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：

课题	测量河流宽度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点B，C在点A的正东方向	点B，D在点A的正东方向	点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．
测量数据	BC＝60m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35°．	BD＝20m， ∠ABH＝70°， ∠BCD＝35°．	BC＝101m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35°．

(1)、哪个小组的数据无法计算出河宽？

(2)、请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）

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20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆 $128$ 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 $608$ 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

(1)、求进馆人次的月平均增长率；

(2)、因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 $500$ 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

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21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．

(1)、求证：△AMB≌△CND；

(2)、若BD＝2AB，判断四边形DEMN的形状，并证明你的结论．

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22. 某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax²+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．

(1)、求a，b的值；

(2)、当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？

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23. 问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分?
问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题：

n条直线最多可以把平面分割成多少个部分?

如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；

如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；

如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；

平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…

①请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程(只写推导过程，不画图)；

②根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成几个部分.

问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分?

首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分；

空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分；

空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分；

空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分；

空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…

③请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分?”的推导过程(只写推导过程，不画图)；

④根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成几个部分；

⑤设n个平面最多可以把空间分割成S_n个部分，设n-1个平面最多可以把空间分割成S_n−1个部分，前面的递推规律可以用S_n−1和n的代数式表示S_n；这个等式是S_n等于多少.

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24. 如图，在四边形ABCD中，AB $//$ CD，∠D=90°，AC⊥BC，DC=8cm，AD=6cm．点F从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，同时，点E从B点出发，以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t(s)．

(1)、求AB长度；

(2)、设四边形ACEF的面积为y (cm²)，求y与t的函数关系式；

(3)、是否存在某一时刻t，使得四边形ACEF的面积是△ACD的面积的 $\frac{5}{4}$ 倍？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

(4)、求t为何值时△BEF为直角三角形．

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