山东省青岛市即墨区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1.
如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
黑棋数
1
3
0
2
3
4
2
1
1
3
根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（　　）

A、60枚 B、50枚 C、40枚 D、30枚

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4. 某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（）

A、44% B、22% C、20% D、10%

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5. 抛物线y＝- 2x²- 4x - 5经过平移后得到抛物线y＝- 2x² ，平移方法是（）

A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位

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6. 若点A（x₁ ， ﹣6），B（x₂ ， ﹣2），C（x₃ ， 2）在反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象上，则x₁ ， x₂ ， x₃的大小关系是（）

A、x₁＜x₂＜x₃ B、x₂＜x₁＜x₃ C、x₂＜x₃＜x₁ D、x₃＜x₂＜x₁

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7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝ $\sqrt{3}$ ，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF＝ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ DE；③∠BEF＝∠FEC； ④S_矩形ABCD＝4S_△BPF；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的个数有（）个．

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 抛物线y＝ax²+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b²﹣4ac与反比例函数y＝ $\frac{(a + b + c) (a - b + c)}{x}$ 在同一坐标系内的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 一山坡的坡度 $i = 1 ： 3$ ，小刚从山坡脚下点 $P$ 处上坡走了 $50 \sqrt{10}$ 米到达点 $N$ 处，那么他上升的高度是米.

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10. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x²﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是．

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11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．

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12. 如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．

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13. 如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为．

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14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点P，H，连接AH，若点P是CH的中点，则△APH的周长为

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三、解答题

15. 如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．

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16.

(1)、解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5；

(2)、在体质检测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣ $\frac{1}{12}$ x²+x+2，求铅球行进的最大高度是多少？

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17. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境.为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查.

(1)、甲组抽到A小区的概率是多少

(2)、请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 和直线y=kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC.

(1)、求双曲线和直线的解析式；

(2)、直接写出不等式 $\frac{m}{x} > k x + b$ 的解集.

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19. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽（AB）为4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m．当水面下降1m时，求水面的宽度增加了多少？

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20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $A B$ 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶 $A$ 的仰角为 $35 °$ ，此时地面上C点、屋檐上 $E$ 点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走 $8 m$ 到达点D时，又测得屋檐 $E$ 点的仰角为 $60 °$ ，房屋的顶层横梁 $E F = 12 m$ ， $E F / / C B$ ， $A B$ 交 $E F$ 于点G（点C，D， $B$ 在同一水平线上）.（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\tan 35 ° \approx 0.7$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

(1)、求屋顶到横梁的距离 $A G$ ；

(2)、求房屋的高 $A B$ （结果精确到 $1 m$ ）.

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．

(1)、求证：CE＝AD；

(2)、当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)、在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）

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22. 我市某工艺厂设计了一款成本为10元

/

件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：

销售单价 $x ($ 元 $/$ 件 $)$	$\dots$	20	30	40	50	$\dots$
每天销售量 $y ($ 件 $)$	$\dots$	500	400	300	200	$\dots$

(1)、猜一猜y是x的什么函数关系？并求出此函数的关系式；

(2)、若用

W (

元

)

表示工艺厂试销该工艺品每天获得的利润，试求

W (

元

)

与

x (

元

/

件

)

之间的函数关系式．

(3)、若该工艺品的每天的总成本不能超过2500元，那么销售单价定为多少元时，工艺厂试销工艺品每天获得的利润最大，最大是多少元？

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23. 如图

如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b（a≠b），点E、F分别是AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d₁、d₂ ．

[初步尝试]

小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：

⑴当 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{1}{1}$ 时，有EF＝ $\frac{a + b}{2}$ ；

⑵当 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{1}{2}$ 时，有EF＝ $\frac{a + 2 b}{3}$ ．

该同学思考研究（2）的过程如下：

作DG∥BC，交AB于G，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．

显然HF＝CD＝b，AG＝AB﹣CD＝a﹣b．

易证，△DEH∽△DAG，可得 $\frac{D N}{D M}$ ＝ $\frac{E H}{A G}$ ，

即， $\frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}$ ＝ $\frac{E H}{a - b}$

而由 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{1}{2}$ ，得 $\frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}$ ＝ $\frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$ ，

代入上式，则 $\frac{1}{3}$ ＝ $\frac{E H}{a - b}$ ．

解得EH＝ $\frac{1}{3}$ （a﹣b）

∴EF＝EH+HF＝b+ $\frac{1}{3}$ （a﹣b）＝ $\frac{a + 2 b}{3}$

[类比发现]

沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现：

当 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{2}{1}$ 时，EF＝；

当 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{3}{1}$ 时，EF＝；

当 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{1}{n}$ 时，EF＝；

当 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{m}{1}$ 时，EF＝．（其中m、n均为正整数，下同）

[推广证明]

当 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{m}{n}$ 时，EF＝；

请证明你的结论．

[实际应用]

请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题．

[情景]

如图2，有一块四边形耕地ABCD，AD∥BC，AD＝100米，BC＝300米，AB＝500米，在AB上取点E，使AE＝200米，以点E处为起点开挖平行于两底的水渠EF，与CD边相交于点F．

[问题]

？（提问即可，不必求解）

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24. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)．

(1)、当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？

(2)、设四边形PQCM的面积为ycm² ，求y与t之间的函数关系式；

(3)、是否存在某一时刻t，使S_{四边形PQCM}= $\frac{9}{16}$ S_△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

(4)、连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

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次数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
黑棋数	1	3	0	2	3	4	2	1	1	3