山东省青岛市黄岛区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）

A、sinA＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、tanA＝ $\frac{1}{2}$ C、cosB＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、tanB＝ $\sqrt{3}$

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3. 小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最短的时刻为（）

A、上午12时 B、上午10时 C、上午9时30分 D、上午8时

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4. 二次函数 $y = x^{2} + b x - 1$ 的图象与x轴的交点个数有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无法判断

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5. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）

A、（﹣2，1） B、（﹣8，4） C、（﹣8，4）或（8，﹣4） D、（﹣2，1）或（2，﹣1）

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6. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF．若 $A F = 5$ ， $B E = 3$ ，则EF的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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7. 如图，将 $△ A B C$ 沿BC方向平移得到 $△ D E F$ ，AC与DE相交于点G．已知 $△ A B C$ 的面积为18， $E C = 2 B E$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 重叠部分（即 $△ C E G$ ）的面积为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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8. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上的两点，且当 $x_{1} < x_{2} < 0$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，则函数 $y = k x^{2} - k (k \neq 0)$ 与 $y = - \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算： $2 \cos^{2} 30 ° + \tan 45 ° =$ ．

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10. 一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则估计口袋中红球的数量为个．

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11. 如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点 $P (3 a ， a)$ 是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为．

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12. 为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为元时，可使每天所获销售利润最大．

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13. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 13 cm$ ， $A C = 24 cm$ ，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为cm．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，延长 $D A$ 到点 $E$ ，使 $A E = D A$ ，连接 $E B$ ，点 $F_{1}$ 是 $C D$ 的中点，连接 $E F_{1}$ ， $B F_{1}$ ，得到 $Δ E F_{1} B$ ；点 $F_{2}$ 是 $C F_{1}$ 的中点，连接 $E F_{2}$ ， $B F_{2}$ ，得到 $Δ E F_{2} B$ ；点 $F_{3}$ 是 $C F_{2}$ 的中点，连接 $E F_{3}$ ， $B F_{3}$ ，得到 $Δ E F_{3} B$ ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形 $A B C D$ 的面积等于2，则 $Δ E F_{n} B$ 的面积为．（用含正整数 $n$ 的式子表示）

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三、解答题

15. 已知：如图，线段a．求作：正方形ABCD，使正方形ABCD的对角线AC=a．

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16.

(1)、解方程： $x^{2} = 4 - 2 x$ ；

(2)、求二次函数 $y = x^{2} - x - 5$ 的图象与一次函数 $y = 2 x - 1$ 的图象的交点坐标．

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17. 祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败，女排精神代代流传．中国女排一路都在创造奇迹，书写中国人的传奇….2020年9月，电影《夺冠》正式上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则小亮胜，若两次数字之和为偶数，则小丽胜．

(1)、请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果；

(2)、这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

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18. 为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，小路的宽应为多少米？

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19. 为增强身体素质，小明和爸爸绕着小区广场锻炼，如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小明到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小明的南偏东42°方向，爸爸在小明的北偏东67°方向，若小明离开A点的距离 $A P = 30 m$ ，求小明与爸爸的距离PQ．（参考数据： $\sin 67 ° \approx \frac{12}{13}$ ， $\cos 67 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $\tan 67 ° \approx \frac{12}{5}$ ， $\sin 42 ° \approx \frac{27}{40}$ ， $\cos 42 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\tan 42 ° \approx \frac{9}{10}$ ）

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20. 如图，一次函数y $= - \frac{1}{2}$ x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y $= \frac{k}{x}$ (x＜0)的图象交于点C(﹣2，2)．

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接CD．求△BCD的面积．

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且 $B E = D F$ ，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．

(1)、求证： $A E = C F$ ；

(2)、若AC平分 $∠ H A G$ ，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．

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22. 为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．

(1)、按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；

(2)、一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？

(3)、施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

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23. （问题提出）

在由 $m \times n (m \times n > 1)$ 个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？

（问题探究）

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

(1)、探究一：

当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：

图1

矩形横长m	2	3	3	5	4	5	…
公矩形纵长n	1	1	2	2	3	3	…
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f	2	3	4	6	6		…

结论：当m，n互质时，在 $m \times n$ 的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是．

(2)、探究二：

当m，n不互质时，不妨设 $m = k a$ ， $n = k b$ （a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表：

图2

a	2	3	3	5	2	3	…
b	1	1	2	2	1	1	…
k	2	2	2	2		3	…
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f	4	6	8		6		…

结论：当m，n不互质时，若 $m = k a$ ， $n = k b$ （a，b，k为正整数，且a，b互质）．在 $m \times n$ 的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是．

(3)、（模型应用）

一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是个．

图3

(4)、（模型拓展）

如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直线穿过的小正方体的个数是个．

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24. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 6 cm$ ， $B C = 8 cm$ ，对角线AC，BD交于点O．动点P从点B开始沿BC边以2cm/s的速度运动，动点Q从点A开始沿AD边以lcm/s的速度运动，过点Q作 $Q M // A C$ ，QM交CD于点M，交BD于点N，点E，F分别是PQ，PM与AC的交点．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，解答下列问题：

(1)、当t为何值时， $M P // B D$ ？

(2)、设 $△ P Q M$ 的面积为 $S {cm}^{2}$ ，写出S与t的关系式；

(3)、是否存在某一时刻，使AC将 $△ P Q M$ 分成 $△ P E F$ 和四边形EFMQ面积比为 $4 ： 5$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)、是否存在某一时刻t，使NP平分 $∠ B N M$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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