山东省临沂市罗庄区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 方程x²=x的解是（）

A、x₁=3，x₂=﹣3 B、x₁=1，x₂=0 C、x₁=1，x₂=﹣1 D、x₁=3，x₂=﹣1

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3. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是（） .

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 二次函数y=x²的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）

A、向左平移2个单位，向下平移2个单位 B、向左平移1个单位，向上平移2个单位 C、向右平移1个单位，向下平移1个单位 D、向右平移2个单位，向上平移1个单位

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5. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）

A、﹣4＜y＜﹣ $\frac{4}{3}$ B、﹣ $\frac{4}{3}$ ＜y＜﹣4 C、 $\frac{4}{3}$ ＜y＜4 D、﹣1＜y＜﹣ $\frac{1}{3}$

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6. 如图， $P A ， P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于 $A ， B$ 点，C为 $⊙ O$ 上一点， $∠ P = 66 °$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $57 °$ B、 $60 °$ C、 $63 °$ D、 $66 °$

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7. 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）

A、50° B、60° C、70° D、80°

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8.
有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S₁ ， S₂ ，则S₁：S₂等于（）

A、1： $\sqrt{2}$ B、1：2 C、2：3 D、4：9

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9. 如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是（）

A、2 B、2π C、 $\sqrt{3}$ D、4π

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10. 如图，点A是反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为4，则k的值是（）

A、4 B、﹣4 C、8 D、﹣8

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11.
二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= $\frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（　　）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则cos∠ADC的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）

A、若 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(5 ， y_{2})$ 是图象上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ B、 $3 a + c = 0$ C、方程 $a x^{2} + b x + c = - 2$ 有两个不相等的实数根 D、当 $x \geq 0$ 时，y随x的增大而减小

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点 $A$ ，点 $B$ 是 $⊙ O$ 上一动点，点 $C$ 为弦 $A B$ 的中点，直线 $y = \frac{3}{4} x - 3$ 与x轴、y轴分别交于点 $D 、 E$ ，则 $△ C D E$ 面积的最小值为（）

A、2 B、2.5 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

15. 计算：2cos60°+tan45°＝．

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16. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 8 x + q = 0$ 有两个不相等的实数根，则q的取值范围是.

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17. 如图， $△ A B O$ 三个顶点的坐标分别为 $A (2 ， 4) ， B (6 ， 0) ， (0 ， 0)$ ，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，可以得到 $△ A^{'} B^{'} O$ ，已知点 $B^{'}$ 的坐标是 $（ 3 ， 0 ）$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标是.

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18. 刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九章算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为．（参考数据：sin15°＝0.26）

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三、解答题

19. 如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过点F，交AB于点E，连接EF．若 $\frac{B F}{O A} = \frac{2}{3}$ ，S_△BEF＝4，则k的值为．

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20. 如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．

(1)、求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．

(2)、足球第一次落地点C距守门员多少米？

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21. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M(3，0)，与y轴相交于点N(0，4)，点A为MN的中点，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ (x＞0)的图象过点A．

(1)、求直线l和反比例函数的解析式；

(2)、在函数y＝ $\frac{k}{x}$ (k＞0)的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．

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22. 如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 $A$ 点处测得树顶端 $D$ 的仰角为30 $°$ ，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 $C$ 处，测得树顶端 $D$ 的仰角为 $60^{o}$ ．已知 $A$ 点的高度 $A B$ 为 $2 m$ ，台阶 $A C$ 的倾斜角∠ACB为30°，且 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树 $D E$ 的高度（测倾器的高度忽略不计）．

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23. 如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．

(1)、求证：PC＝PF；

(2)、连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3 $\sqrt{2}$ ，tanP＝ $\frac{3}{4}$ ，求FB的长．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．

(1)、试求抛物线的解析式；

(2)、直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m= $\frac{P M}{D M}$ ，试求m的最大值及此时点P的坐标．

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25. 如果三角形的两个内角 $α$ 与 $β$ 满足 $2 α + β$ =90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

(1)、若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，求∠B的度数；

(2)、如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

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