山东省临沂市河东区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 2cos45°的值等于（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ，配方正确的是（）．

A、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$ B、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ D、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{11}{4}$

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4. 已知反比例函数 $y = \frac{- 2}{x}$ ，下列结论错误的是（）

A、图象经过点（﹣2，1） B、图象在第二、四象限 C、当x＜0时，y随着x的增大而增大 D、当x＞﹣1时，y＞2

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5. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、4 D、2 $\sqrt{5}$

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6. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）

A、55° B、65° C、60° D、75°

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7. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k < 0)$ 的图像上，且 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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8. 竖直上抛物体离地面的高度 $h (m)$ 与运动时间 $t (s)$ 之间的关系可以近似地用公式 $h = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ 表示，其中 $h_{0} (m)$ 是物体抛出时离地面的高度， $v_{0} (m / s)$ 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 $1.5 m$ 的高处以 $20 m / s$ 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）

A、 $23.5 m$ B、 $22.5 m$ C、 $21.5 m$ D、 $20.5 m$

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9. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 $A C = B D = 12 c m$ ， $C$ ， $D$ 两点之间的距离为 $4 c m$ ，圆心角为 $60 °$ ，则图中摆盘的面积是（）

A、 $80 π c m^{2}$ B、 $40 π c m^{2}$ C、 $24 π c m^{2}$ D、 $2 π c m^{2}$

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10. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D在 $A C$ 上， $∠ D B C = ∠ A$ ．若 $A C = 4 ， c o s A = \frac{4}{5}$ ，则 $B D$ 的长度为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、4

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11. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12. 如图，函数 $y = x + 1$ 与函数 $y_{2} = \frac{2}{x}$ 的图象相交于点 $M (1 ， m) ， N (- 2 ， n)$ .若 $y_{1} > y_{2}$ ，则x的取值范围是（）

A、 $x < - 2$ 或 $0 < x < 1$ B、 $x < - 2$ 或 $x > 1$ C、 $- 2 < x < 0$ 或 $0 < x < 1$ D、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 1$

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13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分 $∠ O A E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象经过AE上的两点A，F，且 $A F = E F$ ， $△ A B E$ 的面积为18，则k的值为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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14. 如图 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边 $B C ， E F$ 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 $Δ A B C$ 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(\frac{1}{4} m - 1) x^{2} - x + 1 = 0$ 有实数根，则m的取值范围是．

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16. 一个小球以 $5 m/s$ 速度开始向前滚动，并且均匀减速， $4 s$ 后小球停止滚动．小球滚动 $5 m$ 约用了秒（结果保留小数点后一位）

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 2$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转至 $△ A B_{1} C_{1}$ 的位置，点 $B_{1}$ 恰好落在边 $B C$ 的中点处，则 $C C_{1}$ 的长为．

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18. 如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为m．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，若进行以下操作，在边 $B C$ 上从左到右依次取点 $D_{1}$ 、 $D_{2}$ 、 $D_{3}$ 、 $D_{4}$ 、…；过点 $D_{1}$ 作 $A B$ 、 $A C$ 的平行线分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $E_{1}$ 、 $F_{1}$ ；过点 $D_{2}$ 作 $A B$ 、 $A C$ 的平行线分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $E_{2}$ 、 $F_{2}$ ；过点 $D_{3}$ 作 $A B$ 、 $A C$ 的平行线分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $E_{3}$ 、 $F_{3}$ …，则 $4 (D_{1} E_{1} + D_{2} E_{2} + \cdot \cdot \cdot + D_{2021} E_{2021}) + 5 (D_{1} F_{1} + D_{2} F_{2} + \cdot \cdot \cdot + D_{2021} F_{2021}) =$ ．

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三、解答题

20.

(1)、计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°

(2)、解方程：x²+x﹣1＝0

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21. 随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.

(1)、李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为

(2)、用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.

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22. 我们知道，机器上使用的螺丝钉（如图），它上面的螺纹以一定的角度旋转上升，使得螺钉旋转时向前推进，问直径是 $6 mm$ 的螺钉，若每转1圈向前推进 $1.25 mm$ ，则螺纹的初始角约为多少度？（参考数据： $\sin 23.6 ° \approx 0.40$ ， $\cos 66.4 ° \approx 0.40$ ， $\tan 21.8 ° \approx 0.40$ ， $\sin 3.80 ° \approx 0.0663$ ， $\cos 86.20 ° \approx 0.0663$ ， $\tan 3.79 ° \approx 0.0663$ ．）

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23. 如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．

(1)、判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．

(2)、若DF= $4 \sqrt{2}$ ，求tan∠EAD的值．

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24. 如图，取一根长1米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点

O

处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点

25 cm

处挂一个种9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧称与中点

O

的距离

L

（单位：

cm

），看弹簧秤的示数

F

（单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：

$L /cm$	1	10	15	20	25	30	35	40	45
$F$ /牛顿	125	24.5	16.5	12.3	9.8	8.2	7	■	5.4

结果老师发现其中有一个数据明显有不符合题意，另一个数据却被墨水涂黑了．

(1)、当

L =

cm

时的数据是错了；

(2)、被墨水途黑了的数据你认为大概是；

(3)、你能求出

F

与

L

的函数关系式吗？

(4)、请你在直角坐标系中画出此函数的图象．

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25. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 ° ， A B = A C = \sqrt{2} + 1$ ，点D，E分别在边 $A B ， A C$ 上，且 $A D = A E = 1$ ，连接 $D E$ ．现将 $△ A D E$ 绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0^{°} < α < 360^{°})$ ，如图2，连接 $C E ， B D ， C D$ ．

(1)、当 $0 ° < α < 180 °$ 时，求证： $C E = B D$ ；

(2)、如图3，当 $α = 90 °$ 时，延长 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，求证： $C F$ 垂直平分 $B D$ ；

(3)、在旋转过程中，求 $△ B C D$ 的面积的最大值，并写出此时旋转角 $α$ 的度数．

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26. 已知二次函数 $y = - a x^{2} + 2 a x + 2$ （ $a \neq 0$ ）．

(1)、求二次函数图象的对称轴；

(2)、若该二次函数的图象开口向上，当 $- 1 \leq x \leq 5$ 时，函数图象的最高点为 $M$ ，最低点为 $N$ ，点 $M$ 的纵坐标为 $\frac{19}{2}$ ，求点 $M$ 和点 $N$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，对直线 $M N$ 下方二次函数图象上的一点 $P$ ，若 $S_{△ P M N} = 3$ ，求点 $P$ 的坐标．

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