山东省聊城市莘县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A D$ 上一点，且 $A E = 2 E D$ ， $E C$ 交对角线 $B D$ 于点 $F$ ，则 $Δ B C F$ 与 $Δ D E F$ 的周长比为（）

A、9 B、3 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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2. 在 $Rt$ △ $A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ，则 $\sin B$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $67500 (1 + 2 x) = 90000$ B、 $67500 {(1 + x)}^{2} = 90000$ C、 $67500 + 67500 (1 + x) + 67500 {(1 + x)}^{2} = 90000$ D、 $67500 \times 2 (1 + x) = 90000$

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4. 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（　　）

A、26° B、38° C、52° D、64°

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5. 若点 $A (- 1, y_{1}), B (2, y_{2}), C (3, y_{3})$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图像上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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6. 在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，那么n的值是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 将二次函数y＝ax²的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
①BF为∠ABE的角平分线；②DF=2BF；③2AB²=DF•DB；④sin∠BAE= $\frac{E F}{A F}$ ．其中正确的为（）

A、①③ B、①②④ C、①④ D、①③④

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9. 如图，在半径为 $\sqrt{13}$ 的 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 与 $C D$ 交于点E， $∠ D E B = 75 °$ ， $A B = 6 ， A E = 1$ ，则CD的长是（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{11}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ} ， \sin A = \frac{3}{5} ， D$ 为 $A B$ 上一点，且 $A D ： D B = 3 ： 2$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于 $E$ ，连结 $B E$ ，则 $\tan ∠ C E B$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{15}{8}$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形 $O A B C$ 绕点O逆时针旋转 $45^{\circ}$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点O连续旋转 $2020$ 次得到正方 $O A_{2020} B_{2020} C_{2020}$ ，如果点A的坐标为 $(1 ， 0)$ ，那么 $B_{2020}$ 的坐标为(　　)

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(0 ， \sqrt{2})$ C、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ D、 $(- 1 ， - 1)$

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12. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ 与x轴交于A、B两点与y轴交于点C．若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当 $△ B C P$ 的面积取得最大值时，点P的坐标是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(\frac{3}{2} ， \frac{25}{8})$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(3 ， 2)$

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二、填空题

13. 如图， $Δ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $B D$ 是圆 $O$ 的直径， $∠ C B D = 21^{\circ}$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

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14. 如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $\frac{A E}{B E}$ （ $A E < B E$ ）的值为.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 $y = \frac{k}{x}$ （x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为．

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16. 如图，在扇形AOB中， $∠ A O B = 120^{°}$ ，半径OC交弦AB于点D，且 $O C ⊥ O A$ ．若 $O A = 2 \sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积为．

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17. 有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (a - 1) x + a (a - 3) = 0$ 有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数 $y = x^{2} - (a^{2} + 1) x - a + 2$ 的图象不经过点(1，0)的概率是.

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三、解答题

18.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - | 1 - \tan 60^{\circ} | + \sin 60^{\circ} + \sqrt{4}$ ；

(2)、解方程： $2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C ，$ 垂足为 $E$ ，连接 $D E ， F$ 为线段 $D E$ 上一点，且 $∠ A F E = ∠ B$ .

(1)、求证： $Δ A D F \sim Δ D E C$ ；

(2)、若 $A B = 8 ， A D = 12 ， A F = 6$ ，求 $A E$ 的长.

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20. “脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人。某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设.

(1)、求该市这两年投入资金的年平均增长率.

(2)、2020年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2020年该市能够帮助多少户建设保障性住房？

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21. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 $B C$ 的坡度为 $1 ： 1$ ，文化墙 $P M$ 在天桥底部正前方8米处( $P B$ 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ .(参考数据： $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732$ )

(1)、若新坡面坡角为 $α$ ，求坡角 $α$ 度数；

(2)、有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 $P M$ 是否需要拆除？请说明理由.

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22. 某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元） $(50 \leq x \leq 90)$ 之间的函数关系如图中的线段 $A B$ ．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）

(1)、求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式．

(2)、该商品每月的总利润 $w$ （元），求 $w$ 关于 $x$ 的函数表达式，并指出销售单价 $x$ 为多少元时利润 $w$ 最大，该月进货数量应定为多少？

(3)、若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？

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23. 如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y= 的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=3，OD=6，△AOB的面积为3．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、直接写出当x＞0时，kx+b﹣ ＜0的解集．

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24. 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作弦AB⊥OP，垂足为点C，延长BO与PA的延长线交于点D

(1)、求证：PB为⊙O的切线

(2)、若OB＝3，OD＝5，求PB的长

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 与 $x$ 斜交于点 $A (6 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求该抛物线的解析式．

(2)、若点 $M$ 为该抛物线对称轴上一点，当 $C M + B M$ 最小值，求点 $M$ 的坐标．

(3)、抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $△ A C P$ 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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