高中数学人教A版（2019）必修一第四章指数函数与对数函数

试卷更新日期：2021-11-16 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 2 x - 1}$ 的值域是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $[4, + \infty)$

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2. 设 $a = \log_{2} 0 .3 ， b = 3^{0.2} ， c = {0.3}^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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3. 2018年5月至2019年春，在阿拉半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有 $N_{0}$ 只，则经过______天能达到最初的1600倍（参考数据： $\ln 1.05 \approx 0.0488$ ， $\ln 1.5 \approx 0.4055$ ， $\ln 1600 \approx 7.3778$ ， $\ln 16000 \approx 9.6803$ ）.

A、152 B、150 C、197 D、199

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4. 函数 $f (x) = {log}_{3} x + x^{3} - 9$ 的零点所在区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 已知函数y＝log_a(x＋3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）．

A、(-2，2) B、(-2，1) C、(-3，1) D、(-3，2)

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6. 已知函数 $y = x^{a} (a \in R)$ 的图象如图所示，则函数 $y = a^{- x}$ 与 $y = {log}_{a} x$ 在同一直角坐标系中的图象是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{1 - x} ， x \leq 1 \\ 1 - {log}_{2} x ， x > 1 \end{matrix}$ ，则满足 $f (x) \leq 2$ 的x的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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8. 若函数 $f (x) = {log}_{2} (a x^{2} + a x + 1)$ 的值域为 $R$ 的函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、已知幂函数 $f (x) = k x^{a}$ 的图象过点 $(2 ， 4)$ ，则 $k + a = 3$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ C、函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 过定点 $(1 ， 2)$ D、 $x > 1$ 时， $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为2

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ，等式 $f (- x) + f (x) = 0$ 恒成立 B、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则一定有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ C、 $\forall m \in [0 ， + \infty)$ ，方程 $| f (x) | = m$ 有两个不相等的实根 D、存在无数多个实数 $k$ ，使得函数 $g (x) = f (x) - k x$ 有三个零点

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 a ， x < 0 \\ x^{2} - a x ， x \geq 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (f (x)) = 0$ 有8个不同的实根，则a的值可能为（）.

A、-6 B、8 C、9 D、12

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12. 已知实数 $x_{1} ， x_{2}$ 为函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - | \log_{2} (x - 1)$ |的两个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) \in (- \infty ， 0)$ B、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \in (0 ， 1)$ C、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 1$ D、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \in (1 ， + \infty)$

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三、填空题

13. 求值: $\log_{2} (\log_{2} 32 - \log_{2} \frac{3}{4} + \log_{2} 6) =$ ．

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14. 函数 $f (x) = \frac{l g (x + 1)}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域为．

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15. 已知函数f(x)= ${log}_{0.5} (x^{2} - 4)$ ，则f(x)的单调递增区间是．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} a - 2^{x} ， x \leq 0 \\ 3 x + 1 ， x > 0 \end{matrix}$ ，若函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是

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四、解答题

17. 化简并求值：

(1)、 $\sqrt[4]{{(π - \frac{13}{4})}^{4}} + {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} + {(- 8)}^{\frac{2}{3}} + 8^{0.25} \times \sqrt[4]{2}$ ；

(2)、 $\lg \frac{4}{5} + \lg 12.5 - \log_{8} 9 \cdot \log_{27} 8 + e^{- \ln 2}$ .

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18. 已知f（x）＝ $\log_{a} \frac{2 + x}{2 - x}$ （a>0，a≠1）.

(1)、求f（x）的定义域；

(2)、求使f（x）>0成立的x的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $(\frac{1}{2}, \sqrt{3})$ ．

(1)、若函数 $F (x) = - 3 f (x) + 10 - m$ 在区间 $(0, 2)$ 内存在零点，求实数m的取值范围；

(2)、若函数 $f (x) = g (x) + h (x)$ ，其中 $g (x)$ 为奇函数， $h (x)$ 为偶函数，若 $x \in (0, 1]$ 时， $2 \ln h (x) - \ln g (x) - t \geq 0$ 恒成立，求实数t的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 1) ， g (x) = {log}_{a} (1 - x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ， $F (x) = f (x) + g (x)$ .

(1)、求函数 $F (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a > 1$ 时，判断函数 $g (x)$ 在定义域内的单调性，并用函数单调性定义证明．

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ， $x \in R$ .

(1)、证明： $f (x)$ 为偶函数；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有公共点，求a的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{x}{2}} + m \cdot 2^{x} - 1 ， x \in [0 ， \log_{2} 3]$ ，是否存在m，使 $g (x)$ 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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22. 设函数f（x）=1+a•（ $\frac{1}{2}$ ）^x+（ $\frac{1}{4}$ ）^x ， a∈R．
（Ⅰ）不论a为何值时，f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．

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高中数学人教A版（2019） 必修一 第四章 指数函数与对数函数

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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