高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

试卷更新日期：2021-11-16 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， - \sqrt{2}) ， (0 ， \sqrt{2})$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0) ， (\sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， - 2) ， (0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 0) ， (2 ， 0)$

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2. 已知椭圆C的焦点为 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ ，过F₂的直线与C交于A ， B两点.若 $| A F_{2} | = 2 | F_{2} B |$ ， $| A B | = | B F_{1} |$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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3. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点作倾斜角为45º的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，设O为坐标原点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 等于（）

A、-1 B、-2 C、 $- \frac{17}{7}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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4. 已知 $A B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的一条焦点弦，弦 $A B$ 的中点 $C$ 到 $y$ 轴的距离为4，则 $| A B | =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为C右支上的点，且 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积等于（）

A、192 B、96 C、48 D、102

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6. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|= $4 \sqrt{2}$ ，|DE|= $2 \sqrt{5}$ ，则C的焦点到准线的距离为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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7. 直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $m x^{2} + n y^{2} = m n (m > n > 0)$ 相交于 $A$ ､ $B$ 两点，弦 $A B$ 的中点纵坐标为 $\frac{2}{3}$ ，则双曲线 $\frac{y^{2}}{m^{2}} - \frac{x^{2}}{n^{2}} = 1$ 的两条渐近线所夹锐角的余弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线 $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的一点，则 $△ A B D$ 的面积的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6} - 3}{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$

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二、多选题

9. 若 $P$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 上一点， $C$ 的一个焦点坐标为 $F (4 ， 0)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $m = \sqrt{5}$ B、渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x$ C、 $| P F |$ 的最小值是 $1$ D、焦点到渐近线的距离是 $\sqrt{7}$

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10. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，则（）

A、过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B F_{1}$ 的周长为4 B、椭圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ C、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ D、 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则点 $P$ ， $Q$ 的最大距离为3

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，则下列结论正确的有（）

A、抛物线 $C$ 上一点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离为4，则点 $M$ 的横坐标为3 B、过焦点 $F$ 的直线被抛物线所截的弦长最短为4 C、过点 $(0 ， 2)$ 与抛物线 $C$ 有且只有一个公共点的直线有2条 D、过点 $(2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $y_{1} y_{2} = - 8$

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12. 以下关于圆锥曲线的说法正确的是（）

A、设 $A$ ， $B$ 为两定点， $m > 0$ ，动点 $P$ 满足 $| | P A | - | P B | | = m$ ，则动点 $P$ 的轨迹是双曲线 B、方程 $x^{2} - 5 x + 2 \sqrt{3} = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点 D、若双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，若 $| P F_{1} | = \frac{5}{2}$ ，则 $| P F_{2} | = \frac{1}{2}$ 或 $| P F_{2} | = \frac{9}{2}$

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三、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点到直线 $x + 2 y - 8 = 0$ 的距离为．

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14. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，以 $F_{2}$ 为圆心， $| F_{1} F_{2} |$ 为半径的圆交双曲线右支于点 $A ， B$ ，若点 $F_{2}$ 恰好在 $∠ F_{1} A B$ 的平分线上，则C的离心率为．

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $| M F_{1} | \cdot | M F_{2} |$ 的最大值为．

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16. 在平面直角坐标系中，对于曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y | y |}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，有下面四个结论：
①曲线C关于y轴对称；

②过平面内任意一点M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C都有且只有一个公共点；

③存在唯一的一组实数a，b，使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1；

④存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点.

其中所有正确结论的序号是.

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四、解答题

17.

(1)、求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；

(2)、求与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有公共渐近线，且焦距为 $6 \sqrt{2}$ 的双曲线的方程.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左焦点为F，过F的直线 $l$ 交椭圆于A，B两点，P为椭圆上任意一点，当直线 $l$ 与x轴垂直时， $| A B | = 3$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、当直线 $l$ 变动时，求 $△ A B P$ 面积的最大值．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ ，经过点 $F_{1}$ 的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A ， B两点， $△ A B F_{2}$ 的周长为8.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、经过椭圆C上的一点Q作斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ （ $k_{1} \neq 0$ ， $k_{2} \neq 0$ ）的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q点的M ， N两点。若M ， N关于坐标原点对称，求 $k_{1} k_{2}$ 的值.

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20. 设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $F_{1} F_{2} = 2 \sqrt{13}$ ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为 $3 : 7$ ．

(1)、求这两曲线方程；

(2)、若P为这两曲线的一个交点，求 $\cos ∠ F_{1} P F_{2}$ 的值．

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21. 已知点 $P (x ， y)$ 到定点 $F (0 ， \sqrt{2})$ 的距离与它到定直线 $l ： y = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ 的距离的比是常数 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ，点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、设点 $Q (m ， 0) (m > 1)$ ，若 $| P Q |$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ ，求实数 $m$ 的值.

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22. 已知椭圆 $E_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $E_{1}$ 上．

(1)、求椭圆 $E_{1}$ 的方程；

(2)、若抛物线 $E_{2}$ 的顶点在坐标原点，焦点在椭圆 $E_{1}$ 的长轴上，且椭圆 $E_{1}$ 的四个顶点到抛物线 $E_{2}$ 准线的距离之和等于6，求抛物线 $E_{2}$ 的方程．

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高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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