山东省济南市槐荫区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\frac{a}{b}$ = $\frac{2}{5}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为（）．

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，直线 $a // b // c$ ，分别交直线 $m$ ， $n$ 于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $D E = 3$ ，则 $E F$ 的长是（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ $\frac{3}{5}$ ，AB＝10，AC的长是（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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5. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C ， D$ 为 $⊙ O$ 上两点，若 $∠ B C D ＝ 40 °$ ，则 $∠ A B D$ 的大小为（）．

A、60° B、50° C、40° D、20°

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6. 二次函数 $y = 2 {(x + 2)}^{2} - 1$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，则小明此次成绩为（）

A、8米 B、10米 C、12米 D、14米

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8. 将函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（）

A、 $y = \frac{6}{x + 1}$ B、 $y = \frac{6}{x - 1}$ C、 $y = \frac{6}{x} + 1$ D、 $y = \frac{6}{x} - 1$

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9. 若点 $A (x_{1} ， - 5) ， B (x_{2} ， 2) ， C (x_{3} ， 5)$ 都在反比例函数 $y = \frac{10}{x}$ 的图象上，则 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$

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10. 如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（）

A、y＝ $- \frac{3 \sqrt{3}}{x}$ B、y＝ $- \frac{\sqrt{3}}{x}$ C、y＝ $- \frac{3}{x}$ D、y＝ $\frac{\sqrt{3}}{x}$

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11. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，以边 $B C$ 所在直线为 $x$ 轴， $B C$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，点 $D$ 为射线 $A O$ 上任意一点（不与点 $A$ 重合），以点 $D$ 为圆心的圆始终与 $A B$ 所在直线相切．在点 $D$ 沿着射线 $A O$ 平移的过程中⊙D与 $x$ 轴相切时，其半径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$ 或 $3 \sqrt{3}$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a b < 0$ ， $a - b^{2} > 0$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在该二次函数的图象上，其中 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 0$ ，则（）

A、 $y_{1} = - y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小无法确定

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二、填空题

13. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为m．

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14. 如图所示， $∠ A O B$ 是放置在正方形网格中的一个角，则 $\sin ∠ A O B$ 的值是.

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15. 如图，直线 $A B$ 过原点分别交反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ ，于A．B，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴，垂足为C，则△ $A B C$ 的面积为．

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16. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ $\sqrt{2}$ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+x的对称轴为x=2，顶点为A.点P为抛物线的对称轴上一点，连接OA、OP.当OA⊥OP时，点P的坐标为．

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18. 如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．

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三、解答题

19. 计算：2cos45° $- \frac{3}{2}$ tan30°cos30°+sin²60°．

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20. 如图，在 $10 \times 10$ 网格中，点 $O$ 是格点， $△ A B C$ 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点 $A_{1}$ 是点 $A$ 以点 $O$ 为位似中心的对应点．

(1)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 的位似比是；

(2)、画出 $△ A B C$ 以点 $O$ 为位似中心的位似图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

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21. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 上， $B D = 2$ ， $C E = 5$ ．求证： $△ A E D ∽ △ A B C$ ．

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22. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 4$ ，以 $B C$ 为直径的半圆 $O$ 交斜边 $A B$ 于点 $D$ ．

(1)、证明： $A D = 3 B D$ ；

(2)、求阴影部分的面积．

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23. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离．

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24. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．

(1)、当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；

(2)、当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）

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25. 如图，一次函数 $y_{1} = a x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (2 ， 8) ， B (8 ， 2)$ 两点，连接 $A O ， B O$ ，延长 $A O$ 交反比例函数图象于点 $C$

(1)、求一次函数 $y_{1}$ 的表达式与反比例函数 $y_{2}$ 的表达式；

(2)、当 $y_{1} < y_{2}$ 时，直接写出自变量 $x$ 的取值范围为；

(3)、点 $P$ 是 $x$ 轴上一点，当 $S_{△ P A C} = \frac{5}{4} S_{△ A O B}$ 时，请直接写出点 $P$ 的坐标为．

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26. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形

(1)、如图1， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $C D$ 上的点， $B F ⊥ C E$ ，垂足为 $G$ ，连接 $A G$ ．
①求证： $\frac{C E}{B F} = \frac{C D}{B C}$ ；

②若 $G$ 为 $C E$ 的中点，求证： $\sin ∠ A G B = \frac{C E}{B F}$ ；

(2)、如图2，将矩形 $A B C D$ 沿 $M N$ 折叠，点 $A$ 落在点 $R$ 处，点 $B$ 落在 $C D$ 边的点 $S$ 处，连接 $B S$ 交 $M N$ 于点 $P$ ， $Q$ 是 $R S$ 的中点.若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，直接写出 $P S + P Q$ 的最小值为．

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27. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + (a + 3) x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B$ ，在 $x$ 轴上有一动点 $E (m ， 0) (0 < m < 4)$ ，过点E作x轴的垂线交直线 $A B$ 于点N，交抛物线于点P，过点P作 $P M ⊥ A B$ 于点M.

(1)、求a的值和直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、设 $Δ P M N$ 的周长为 $C_{1}$ ， $Δ A E N$ 的周长为 $C_{2}$ ，若 $\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{6}{5}$ ，求m的值；

(3)、如图2，在（2）条件下，将线段 $O E$ 绕点O逆时针旋转得到 $O E^{'}$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $E^{'} A$ 、 $E^{'} B$ ，求 $A E^{'} + \frac{2}{3} B E^{'}$ 的最小值.

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