湖北省部分重点中学2021-2022学年高三上学期数学期中第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 3 ， - 2 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 5 x - 6 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 3 ， - 2}$ D、 ${- 3 ， - 2 ， 1}$

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2. 已知复数 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，若 $z - 3 \bar{z} = 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 将函数 $f (x) = \sin (2 x - φ)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则 $φ$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ ，直线l过点 $A (1 ， 2)$ 且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则 $| M N | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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6. 若 $\tan x = 2$ ，则 $\frac{\sin 2 x - \sin x \cos 2 x - \sin x}{\sin^{2} \frac{x}{2}} =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $- \frac{8}{5}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且斜率为 $- 3 \sqrt{7}$ 的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若 $(\vec{F_{1} F_{2}} + \vec{F_{1} A}) \cdot \vec{F_{2} A} = 0$ ，则此双曲线的渐近线为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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8. 已知 $a = \sin 0.1$ ， $b = \frac{0.3}{π}$ ， $c = \frac{0.9}{π^{2}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 已知二项式 ${(a x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 2$ ，则展开式的常数为60 B、展开式中有理项的个数为3 C、若展开式中各项系数之和为64，则 $a = 3$ D、展开式中二项式系数最大为第4项

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10. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）

A、M与N互斥但不对立 B、M与N对立 C、 $P (M N) = \frac{1}{6}$ D、 $P (M + N) = \frac{2}{3}$

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11. 如图， $△ O A_{1} B_{1}$ ， $△ A_{1} A_{2} B_{2}$ ， $△ A_{2} A_{3} B_{3}$ 是全等的等腰直角三角形， $O A_{1} = 2$ ， $B_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 处为直角顶点，且O， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 四点共线.，若点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ，分别是边 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ ， $A_{3} B_{3}$ 上的动点（包含端点），记 $I_{1} = \vec{O B_{1}} \cdot \vec{O P_{3}}$ ， $I_{2} = \vec{O B_{2}} \cdot \vec{O P_{2}}$ ， $I_{3} = \vec{O B_{3}} \cdot \vec{O P_{1}}$ ，则（）

A、 $I_{1} = 6$ B、 $I_{3} \geq I_{1}$ C、 $I_{3} \leq I_{2}$ D、 $5 \leq I_{2} \leq 6$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $e^{a_{n + 1} + a_{n}} = e^{a_{n}} + 1 (n \in N^{*})$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则下列选项中正确的是（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.693$ ， $\ln 3 \approx 1.099$ ）

A、 $a_{n} + a_{n + 1} \geq \ln 2$ B、 $S_{2020} < 666$ C、 $\ln \frac{3}{2} \leq a_{n} \leq \ln 2 (n \geq 2)$ D、 ${a_{2 n - 1}}$ 是单调递增数列， ${a_{2 n}}$ 是单调递减数列

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ 的图象在点 $(\frac{π}{2} ， 1)$ 处的切线方程为.

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14. 已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为 $\frac{1}{3}$ ，若 $\vec{P Q} = λ \vec{I Q}$ ，则 $λ$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x + \frac{1}{2})$ 为奇函数，设 $g (x) = f (x) + 2$ ，则 $g (\frac{1}{2022}) + g (\frac{2}{2022}) + \dots + g (\frac{2021}{2022}) =$ .

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16. 如图，已如平面四边形ABCD， $A B = B C = 3$ ， $C D = 1$ ， $A D = \sqrt{5}$ ， $∠ A D C = 90 °$ .沿直线AC将 $△ D A C$ 翻折成 $△ D^{'} A C$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ ；当平面 $D^{'} A C ⊥$ 平面ABC时，则异面直线AC与 $B D^{'}$ 所成角余弦值是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \dots + \frac{a_{n}}{n} = 4 n$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot a_{n}}{4 n^{2} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前n项和 $S_{n} (n \geq 2)$ .

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18. 在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：

该农作物亩产量（ $kg$ ）	900	1200
概率	0.5	0.5
该农作物市场价格（元/ $kg$ ）	30	40
概率	0.4	0.6

(1)、设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；

(2)、若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至多一年的纯收入不少于30000元的概率.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A D ⊥ A B$ ， $D C // A B$ ， $P A = A D = D C = 1$ ， $A B = 2$ ，E为棱PB上一点.

(1)、若E为棱PB的中点，求证：直线 $C E //$ 平面PAD；

(2)、若E为棱PB上存在异于P､B的一点，且二面角 $E - A C - B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线AE与平面ABCD所成角的正弦值.

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A C > A B$ ， $\cos A = \frac{31}{32}$ ， $A B = 8$ .

(1)、若 $S_{△ A B C} = \frac{15 \sqrt{7}}{4}$ ，求BC；

(2)、若 $\cos (B - C) = \frac{1}{8}$ ，求 $S_{Δ A B C}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 4) x + 4 \ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $g (x) = - (3 a + 1) x + \frac{11}{2} \ln x$ ，若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 图像有两个交点，求a的取值范围.

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22. 如图所示，已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.

(1)、当直线AB的斜率为1时，求弦长 $| A B |$ 的长；

(2)、已知 $P (1 ， 0)$ 为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率 $k > 0$ ，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数 $λ$ 使得 $\vec{A B} = λ \vec{C D}$ ，若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，说明理由.

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