青海省西宁市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下图所示的四个汽车标志图案中，中心对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} + 2 y = 0$ C、 $\frac{1}{x^{2}} + 2 x + 1 = 0$ D、 $x^{2} = 1$

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3. 如果将抛物线 $y = x^{2} + 2$ 向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = x^{2} + 3$

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4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < \frac{1}{4}$ B、 $m < - \frac{1}{4}$ C、 $m \leq \frac{1}{4}$ D、 $m \leq - \frac{1}{4}$

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5. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{A D}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $B C = B D$ B、 $A C = O D$ C、 $∠ A B C = ∠ D$ D、 $∠ A B C = \frac{1}{2} ∠ A O D$

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6. 下列判断正确的是（）

A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D、“a是实数，|a|≥0”是不可能事件

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，半径 $O A$ 的垂直平分线交 $⊙ O$ 于 $C$ ， $D$ 两点， $∠ C = 30 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ．则阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、π C、 $\frac{2}{3} \sqrt{3} π$ D、 $2 π$

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8. 如图，已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．直线 $y_{2} = - x + c$ 与抛物线交于 $C$ ， $D$ 两点， $D$ 点在 $x$ 轴下方且横坐标小于3，则下列结论错误的是（）

A、 $2 a + b = 0$ B、 $b^{2} - 4 a c > 0$ C、 $a - b + c < 0$ D、当 $0 < x < 3$ 时， $y_{1} > y_{2}$

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二、填空题

9. 已知函数 $y = (m - 3) x^{2} - x + 5$ 是二次函数，则 $m$ 的取值范围是．

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10. 坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n= ．

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11. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + 1 = 0$ 的一个根是－2，则另一个根是．

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12. 正四边形的边长为4，则它的边心距是．

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13. 如图，在矩形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为．

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14. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的大致图象如图所示，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 2$ 的解是．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 3$ ．将矩形 $A B D C$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转一定角度得到矩形 $A B' C' D'$ ，若点 $B$ 的对应点 $B'$ 落在边 $D C$ 上，则 $B' D$ 的长为．

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16. 铅球运行高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）之间的函数关系满足 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{4}{3} x + 3$ ，此运动员能把铅球推出 $m$ ．

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17. 若圆中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为．

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18. 如图，正方形 $A B C O$ 的顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $y$ 轴， $x$ 轴上，以 $A B$ 为弦的 $⊙ M$ 与 $x$ 轴相切．若点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 8)$ ，则圆心 $M$ 的坐标为．

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三、解答题

19. 解方程： $3 x^{2} - x - 1 = 0$

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20. 解方程： $9 t^{2} - {(t - 1)}^{2} = 0$

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21. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形(顶点都是格点)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB₁C₁

(1)、在正方形网格中，作出△AB₁C₁；

(2)、设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B所经过的路径长

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22. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数．

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23. 甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况乙获胜．这个游戏公平吗？请利用树状图或列表法来解释说明．

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24. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} {(x - h)}^{2} + k$ 的部分图象如图所示， $A$ 为抛物线顶点．

(1)、写出二次函数的解析式；

(2)、若抛物线上两点 $B (x_{1} ， y_{1})$ ， $C (x_{2} ， y_{2})$ 的横坐标满足 $- 1 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ；（用“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”填空）

(3)、观察图象，直接写出当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围．

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25. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm²)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.

(1)、请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)、当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？

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26. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上异于点 $A$ ， $B$ 的一点，且 $P A = P C$ ．

(1)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = 6$ ，求 $P A$ 的长．

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27. 如图， $R t △ A B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ．

(1)、请你用无刻度的直尺和圆规，作出 $△ A B C$ 的内切圆 $⊙ O$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

(2)、求 $⊙ O$ 的半径长．

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28. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 5)$ ，并经过点 $(1 ， 8)$ ， $M$ 是它的顶点．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、用配方法将二次函数的解析式化为 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，并写出顶点 $M$ 的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$ ，使 $P A + P C$ 的值最小？若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

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