广东省深圳市龙岗区2022届高三上学期数学期中质量监测试卷

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 5}$ ， $B = {x | 2^{x} \geq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2 ， 5)$ B、 $[2 ， 5)$ C、 $[2 ， 5]$ D、 $(2 ， 5]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = | 3 + 4 i |$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 2$ ，前5项和 $S_{5} = 10$ ，则 $d =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4. 已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、160 B、-160 C、-20 D、20

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 \\ e^{x} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $m - f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1] \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 1)$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 4$ ， $∠ B A C = 30^{\circ}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起到 $△ P B D$ 的位置，使得二面角 $P - B D - C$ 为 $60^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - B D C$ 的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知 $f (x)$ 为偶函数， $g (x)$ 为奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f^{2} (x) + g^{2} (x) = f (2 x)$ B、 $\forall x > 0$ ， $g (g (x)) > g (x)$ C、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > λ$ ，则 $λ \leq 1$ D、 $g (x - y) = f (x) g (y) + g (x) f (y)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $(3 + m) x + 4 y = 5 - 3 m$ 与 $2 x + (5 + m) y = 8$ 平行，则 $m = - 1$ B、正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ，则 $S_{4} = 15$ C、在 $△ A B C$ 中， $B = 30^{\circ}$ ， $b = 1$ ，若三角形有两解，则边长 $c$ 的范围为 $1 < c < 2$ D、函数 $f (x) = a - \frac{1}{2^{x} + 1}$ 为奇函数的充要条件是 $a = \frac{1}{2}$

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10. 函数 $f (x) = \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ B、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上为增函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， - \frac{1}{4})$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象可以由 $g (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到

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11. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上有四个不同的点到直线 $4 x + 3 y - a = 0$ 的距离为2，则 $a$ 的值可取（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ （ $e$ 为自然对数的底数），过点 $(a ， b)$ 作曲线 $f (x)$ 的切线.下列说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，若只能作两条切线，则 $b = \frac{4}{e^{2}}$ B、当 $a = 0$ ， $b > \frac{4}{e^{2}}$ 时，则可作三条切线 C、当 $0 < a < 2$ 时，可作三条切线，则 $\frac{a}{e^{a}} < b < \frac{4 - a}{e^{2}}$ D、当 $a = 2$ ， $b > 0$ 时，有且只有一条切线

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， k)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ .

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14. 已知随机变量 $X ~ N (0 ， σ^{2})$ ，且 $P (X > a) = m ， a > 0$ ，则 $P (- a < X < a) =$ .

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15. 已知点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，已知 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，点 $P$ ､ $M$ 在四边形 $A B C D$ 内（包括边界），点 $P$ 到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离等于它到点 $D$ 的距离，直线 $M B_{1} / /$ 平面 $E C_{1} D$ ，则 $P M$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N *)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ 与边 $B C$ 相交于点 $D$ ，满足 $B D = 2 D C$ .

(1)、求证： $A B = 2 A C$ ；

(2)、若 $A D = B D = 2$ ，求 $∠ B A C$ 的大小.

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19. 已知矩形 $A B C D$ 满足 $A B = 3$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ，点 $M$ 为 $B C$ 的中点，连接 $A M$ ､ $B D$ ， $A M$ 交 $B D$ 于点 $O$ .将 $△ B A M$ 沿 $A M$ 折起，点 $B$ 翻折到新的位置 $B^{'}$ ，得到一个四棱锥 $B^{'} - A M C D$ .

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $B^{'} D O$ ；

(2)、若平面 $B^{'} A M ⊥$ 平面 $A M C D$ ，求二面角 $A - B^{'} D - C$ 的余弦值.

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20. 2021年8月3日，国务院印发了《全民健身计划（2021-2025）》，就促进全民健身更高水平发展､更好满足人民群众的健身和健康需求，提出5年目标和8个方面的主要任务.为此，深圳市政府颁发了《深圳建设国家体育消费试点城市实施方案》，进一步推动深圳市体育的高质量发展.为了响应全民健身和运动的需要，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，比赛规则如下：每位选手可以选择在 $A$ 区发球2次或者 $B$ 区发球3次，球落到指定区域内才能得分，在 $A$ 区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在 $B$ 区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出.已知选手甲在 $A$ 区和 $B$ 区每次发球得分的概率为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ .

(1)、如果选手甲以在 $A$ 区和 $B$ 区发球得分的期望值较高者作为选择发球区的标准，问选手甲应该选择在哪个区发球？

(2)、求选手甲在 $A$ 区得分高于在 $B$ 区得分的概率.

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21. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和定点 $A (- 2 ， 0)$ ，动点 $C$ ､ $D$ 在圆 $O$ 上.

(1)、过点 $P (3 ， 2)$ 作圆 $O$ 的切线，求切线方程；

(2)、若满足 $k_{A C} k_{A D} = - \frac{1}{3}$ ，设直线 $A D$ 与直线 $x = 4$ 相交于点 $N$ .
①求证：直线 $C D$ 过定点；

②试探究 $k_{A C}$ 和 $k_{C N}$ 的定量关系.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - a$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ ， $x > 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $x = m$ 为 $f (x)$ 的极值点，且 $m > 0$ ， $f (m) = - a - 1$ ，求 $a$ 的值.

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