黑龙江省八校2021-2022学年高一上学期期中联合考试数学试卷

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，）

1. 已知全集 $A = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ， $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 3}$

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2. 命题“ $\forall x > 2$ ，都有 $x^{2} - 3 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 2$ ，都有 $x^{2} - 3 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 2$ ，都有 $x^{2} - 3 > 0$ C、 $\exists x \leq 2$ ，使得 $x^{2} - 3 \leq 0$ D、 $\exists x > 2$ ，使得 $x^{2} - 3 \leq 0$

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3. 已知 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{0}}{\sqrt{3 - x}}$ ，则 $f (x + 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 2) \cup (2 ， 4)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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4. 已知f(x)= ${\begin{array}{l} 2 x - 1 ， x \geq 2 \\ - x^{2} + 3 x ， x < 2 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) + f (4)$ 的值为（）

A、8 B、10 C、9 D、11

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5. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x | x |$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = - x^{3}$

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6. 下列说法中，错误的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ， $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ C、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$

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7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 $N$ 满足关系 $N = \frac{1000 v}{0.7 v + 0.3 v^{2} + d_{0}}$ ，其中 $d_{0}$ 为安全距离， $v$ 为车速 $(m / s)$ .当安全距离 $d_{0}$ 取 $30 m$ 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）

A、195 B、165 C、149 D、135

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8. 若 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 内是增函数，又 $f (3) = 0$ ，则 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 3 < x < 0$ 或 $1 < x < 3}$ B、 ${x | x < - 3$ 或 $1 < x < 3}$ C、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | - 3 < x < 0$ 或 $x > 3}$

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二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

9. 已知函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} - m}$ 为幂函数，则该函数为（）

A、奇函数 B、偶函数 C、区间 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数 D、区间 $(0 ， + \infty)$ 上的减函数

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10. 命题“ $\exists - 1 \leq x \leq \sqrt{2} ， x^{2} + m^{2} - 3 m \leq 0$ ”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $0 \leq m \leq 3$ B、 $1 \leq m \leq 2$ C、 $1 \leq m \leq 3$ D、 $- 1 < m < 4$

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11. 已知 $f (2 x - 1) = 4 x^{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (3) = 9$ B、 $f (- 3) = 4$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = {(x + 1)}^{2}$

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12. 下列说法正确的有（）

A、集合 $P = {x | x^{2} - 3 x + 2 = 0} ， Q = {x | m x - 1 = 0} ，$ 若 $P \supseteq Q$ ，则实数 $m \in {1 ， \frac{1}{2}}$ ； B、设集合 $A = {x | a x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ 至多有两个子集，则 $a \in {0} \cup {a | a \geq \frac{9}{8}}$ ； C、已知 $a = \sqrt{7} - \sqrt{6}$ ， $b = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ，则 $a < b$ D、已知 $a ， b ， c > 0$ ，则 $a + b + c \geq \sqrt{a b} + \sqrt{b c} + \sqrt{a c}$

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三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 4, x \leq 0 \\ x^{2}, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (m) = 4$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知A ， B是两个集合，定义 $A - B = {x | x \in A ， x \notin B}$ ，若 $A = {x | - 1 < x < 4}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A - B =$ .

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15. 已知 $f (x) = x + \sqrt[3]{x}$ ，若正数a，b满足 $f (4 a) + f (b - 9) = 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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16. 给出以下四个命题：
①若集合A={x ， y}，B={0，x²}，A=B ，则x=1，y=0；

②函数 $y = x - 3$ 与 $y = \frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 为同一个函数；

③已知 $y = f (x)$ 在定义域 $(0 ， 1)$ 上是减函数，且 $f (1 - a) > f (2 a - 1)$ ，则 $a > \frac{2}{3}$

④已知 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} - a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{matrix}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数，则a的取值范围是 $[- 3 ， - 2]$ .

其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)

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四、解答题（本题共6个小题，共70分）

17. 在① $A \cup B = B$ ；②“ $x \in A$ “是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 1} ， B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求A∪B； $A \cap (C_{R} B)$

(2)、若　　▲　　，求实数a的取值范围.

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18.

(1)、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1 ，或 x > b}$ .求 $a ， b$ 的值；

(2)、已知 $f (x)$ 是一次函数，且 $f [f (x)] = 4 x - 3 ，$ 求 $f (x)$ ；

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19. 已知a ， b ， c为正实数.

(1)、若 $a + b = 2 a b$ ，求a+4b的最小值；

(2)、若 $a + b + c = 3$ ，证明 $\frac{c^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} \geq 3$ .

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20. 已知 $a x^{2} + 2 a x + 1 \geq 0$ 恒成立.

(1)、求a的取值范围;

(2)、解关于x的不等式 $x^{2} - x - a^{2} + a < 0$ .

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21. 已知 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ．

(1)、求 $x < 0$ 时，函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， a - 2]$ 上单调递增，求实数a的取值范围．

(3)、解不等式 $f (x) \geq x + 2$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{4}{x} ， x \in$ [1， 2]．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的值域；

(3)、设 $F (x) = x^{2} + \frac{16}{x^{2}} - 2 a (x - \frac{4}{x})$ ， $x \in [1 ， 2]$ ， $a \in R$ ，求函数 $y = F (x)$ 的最小值 $g (a)$ ．

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