吉林省白城市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-11-16 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 $A \cap B$ =（）

A、{1，3，5，7} B、{2，3} C、{2，3，5} D、{1，2，3，5，7，8}

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2. 命题“ $\forall x$ ≥1， $x^{2}$ ≥1”的否定形式是（）

A、 $\forall x$ ≥1， $x^{2} < 1$ B、 $\exists x$ ≥1， $x^{2} < 1$ C、. $\forall x < 1$ ， $x^{2} < 1$ D、 $\exists x$ ≥1， $x^{2}$ ≥1

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3. 设 $x \in$ R，则“ $0 < x < 5$ ”是“ $0 < x < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列函数中，在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = - 3 x - 2$ B、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{1 + x} - \frac{2}{x}$ 的定义域是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $R$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $y = \frac{1}{x^{2} + x + 1}$ 的值域为（）

A、 $(- \infty ， \frac{4}{3}]$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{4}]$ C、 $(0 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{3}{4}]$

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8. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\begin{array}{l} \frac{1}{3} ， \frac{2}{3} \end{array})$ B、 $[\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ C、 $(\begin{array}{l} \frac{1}{2} ， \frac{2}{3} \end{array})$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$

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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

9. 下列说法正确的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a + b > 0 ， b < 0$ ，则 $a > - b$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} ， x > 0 ， \end{array}$ 则下列结论中正确的是（）

A、 $f (\sqrt{2}) = 2$ B、若 $f (m) = 9$ ，则 $m = \pm 3$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、在 $f (x)$ 上 $R$ 单调递减

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11. 下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 与 $g (s) = s^{2} - 2 s - 1$ B、 $f (x) = \sqrt{- x^{3}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- x}$ C、 $f (x) = \frac{x}{x}$ 与 $g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$

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12. 具有性质： $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ 的函数，我们称为满足“倒负“变换的函数，下列函数中满足“倒负“变换的函数是（）

A、 $f (x) = x - x^{2}$ B、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = {\begin{matrix} x ， 0 < x < 1 \\ 0 ， x = 1 \\ - \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如果函数 $f (x) = x^{2} + 2 (a - 2) x + 3$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上单调递减，那么实数a的取值范围是.

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14. 已知 $f (2 x + 1) = x^{2} + x$ ，则 $f (3) =$ ．

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15. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值是

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} ， (x > 1) \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \geq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 4 < 0}$ ，求：

(1)、 $(C_{U} A) \cup B$

(2)、 $A \cap (C_{U} B)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{m}{x}$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = - 1$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、判定 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、判断 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并给予证明．

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19. 在①“ $x \in A$ ”是 $“ x \in B ”$ 的充分不必要条件； $② A \cup B = B$ ； $③ A \cap B = ϕ$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第 $($ 2 $)$ 问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq a + 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若选 ▲ ，求实数a的取值范围．（若多选，则按第一个记分）

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20. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x$ ≤0时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、写出函数 $f (x)$ 的增区间（不需要证明）；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 a x + 2$ （ $x \in [1 ， 2]$ ），求函数 $g (x)$ 的最小值.

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21. 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式： $P = \frac{1}{2} m + 60$ ， $Q = 70 + 6 \sqrt{m}$ ，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．
（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；

（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．

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22. 已知函数 $f (x)$ 对任意的实数m，n都有 $f (m + n) = f (m) + f (n) - 1$ ，且当 $x > 0$ 时，有 $f (x) > 1$ .

(1)、求 $f (0)$ ；

(2)、求证： $f (x)$ 在R上为增函数；

(3)、若 $f (1) = 2$ ，且关于x的不等式 $f (a x - 2) + f (x - x^{2}) < 3$ 对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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