浙教版数学九上第4章相似三角形优生综合题特训

试卷更新日期：2021-11-13 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图1所示，点C把线段 $A B$ 分成 $A C$ 与 $C B$ ，若 $\frac{A C}{A B} = \frac{C B}{A C}$ ，则称线段 $A B$ 被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段 $A B$ 的黄金分割点， $A C$ 与 $A B$ 的比叫做黄金比．

(1)、根据上述定义求黄金比；

(2)、在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段 $A B$ 的垂直平分线，得线段 $A B$ 的中点M；②过点B作 $A B$ 垂线l；③以点B为圆心，以 $B M$ 为半径作圆交l于N；④连接 $A N$ 、 $B N$ ，以N为圆心，以 $N B$ 为半径作圆交 $A N$ 于P；⑤以点A为圆心，以 $A P$ 为半径作圆交 $A B$ 于C ．

(3)、证明你按以上步骤作出的C点就是线段 $A B$ 的黄金分割点．

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2. 定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 $\frac{P B}{P A} = \frac{P A}{A B}$ =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做黄金分割数.

(1)、理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；

(2)、应用：如图2，抛物线y＝x²+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标.

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3. 如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．

(1)、试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；

(2)、试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．

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4. 已知线段a，b，c满足 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{c}{6}$ ，且a＋2b＋c＝26.

(1)、判断a，2b，c，b²是否成比例；

(2)、若实数x为a，b的比例中项，求x的值．

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5. （问题情境）
如图①，小区 $A$ 、 $B$ 位于一条笔直的道路 $l$ 的同侧，为了方便 $A$ ， $B$ 两个小区居民投放垃圾，现在 $l$ 上建一个垃圾分类站 $C$ ，使得 $C$ 与 $A$ ， $B$ 的距离之比为 $2 ： 1$ .

(1)、（初步研究）
在线段 $A B$ 上作出点 $C$ ，使 $\frac{C A}{C B} = 2$ .
如图，做法如下：

第一步：过点 $A$ 作射线 $A M$ ，

以 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧，交 $A M$ 于点 $P_{1}$ ；

以 $P_{1}$ 为圆心， $A P_{1}$ 长为半径画弧，交 $A M$ 于点 $P_{2}$ ；

以 $P_{2}$ 为圆心， $A P_{1}$ 长为半径画弧，交 $A M$ 于点 $P_{3}$ .

第二步：连接 $B P_{3}$ ，作 $∠ A P_{2} C = ∠ A P_{3} B$ ，交 $A B$ 于点 $C$ .

则点 $C$ 即为所求.

请证明所作的点 $C$ 满足 $\frac{C A}{C B} = 2$ .

(2)、（深入思考）
如图，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，点 $D$ 在直线 $A B$ 外，且 $\frac{D A}{D B} = \frac{C A}{C B} = 2$ .
求证： $D C$ 是 $∠ A D B$ 的平分线.

(3)、（问题解决）
如图，已知点 $A$ ， $B$ 和直线 $l$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，且 $\frac{C A}{C B} = 2$ .用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）
（ⅰ）在直线 $A B$ 上作出点 $E$ （异于点 $C$ ），使 $\frac{E A}{E B} = 2$ ；

（ⅱ）在直线 $l$ 上作出点 $F$ ，使 $\frac{F A}{F B} = 2$ .

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6. 如图，已知等边 $△ A B C$ ，在 $A C$ ， $B C$ 边分别取点 $P$ ， $Q$ ，使 $A P = C Q$ ，连接 $A Q$ ， $B P$ 相交于点 $O$ .

(1)、求证： $△ A B P$ ≌ $△ C A Q$ .

(2)、若 $A P = \frac{1}{3} A C$ .
①求 $\frac{O P}{O B}$ 的值.

②设 $△ A B C$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $C P O Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值.

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7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C$ ： $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点 $(1 ， 1)$ 和 $(4 ， 1)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的对称轴.

(2)、当 $a = - 1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_{1}$ .
①求抛物线 $C_{1}$ 的解析式.

②设抛物线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ .点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_{1}$ 上一动点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ O A$ 于点 $E$ .设点 $D$ 的横坐标为 $m$ .是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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8. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 8)$ ，若 $C B = A B$ ，且 $S_{Δ O A B} = 8$ ．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、直接写出 $k x + b - \frac{m}{x} < 0$ 的解集；

(3)、若点 $P$ 为 $y$ 轴上一点，求使 $∠ A P B = 90 °$ 的点 $P$ 的坐标．

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9. 综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)、如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.

(2)、在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.

(3)、如图2，△ABC中，AC=2，DC= $\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ ，BD= $\sqrt{3} - 1$ ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长.

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10. 如图，一次函数 $y = 2 x - b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A$ 、 $B$ 两点，与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $C$ 、 $D$ 两点，且点 $A$ 的坐标为 $(3 ， 2)$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式.

(2)、求 $△ A O B$ 的面积.

(3)、点 $P$ 为反比例函数图象上的一个动点， $P M ⊥ x$ 轴于 $M$ ，是否存在以 $P$ 、 $M$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $△ C O D$ 相似，若存在，直接写出 $P$ 点的坐标，若不存在，请说明理由.

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11. 如图所示，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ ，动点 $P (t ， 0)$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 是线段 $P A$ 的中点．将线段 $P B$ 绕着点 $P$ 顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到线段 $P C$ ，连结 $O B$ 、 $B C$ ．

(1)、写出点 $B$ 的坐标；

(2)、当 $t > 0$ 时，试问：以 $P ， O ， B ， C$ 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的 $t$ 的值？若不能，请说明理由；

(3)、当 $t$ 为何值时，△ $A O P$ 与△ $A P C$ 相似？

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12. 如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．

(1)、求 $\frac{O A}{A B}$ 的值．

(2)、若E为x轴上的点，且S_△_AOE＝ $\frac{16}{3}$ ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？

(3)、若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

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13. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴的两个交点分别为A、B，与 $y$ 轴相交于点C，点A（ $- 2$ ，0）， $B O = 4 A O$ ，连接BC，tan∠OCB=2．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PD⊥BC，垂足为点D．
①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

②以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求出点P的坐标．

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14. 如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y $= - \frac{3}{4}$ x+b分别交x轴，y轴于点A、B ， OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D ．

(1)、求点D的坐标；

(2)、点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C ，设点P的横坐标为t ， △BCD的面积为S ，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E ，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F ，求F点坐标．

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15. 已知正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $C D$ 上一点（不与 $C$ 、 $D$ 重合），将 $Δ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $Δ A B F$ ，如图1，连接 $E F$ ，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $P$ 、 $G$ .

(1)、求证： $Δ A P F ∽ Δ E P C$ ；

(2)、求证： $P A^{2} = P G \cdot P F$ ；

(3)、如图2，当点 $E$ 是边 $C D$ 的中点时， $P E = 1$ ，求 $A G$ 的长.

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16. 如图，已知抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ .点 $M$ 从 $O$ 点出发，以每秒1个单位长度的速度向 $B$ 运动，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $P$ ，交 $B C$ 于 $Q$ .

(1)、求点 $B$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、设当点 $M$ 运动了 $x$ （秒 $)$ 时，四边形 $O B P C$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $x$ 的函数关系式，并指出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、在线段 $B C$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $Δ D B Q$ 成为以 $B Q$ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标，若不存在，说明理由.

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17. 学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.

(1)、（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例.所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.

(2)、（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.

已知：四边形 $A B C D$ 和四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C D}{C^{'} D^{'}} = \frac{A D}{A^{'} D^{'}}$ ， $∠ A = ∠ A^{'}$ .

求证：四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .证明：

(3)、对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；

②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；

③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；

④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.

其中真命题是.（填写所有真命题的序号）

(4)、请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.

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18. 如图所示，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， - 3)$ ，其对称轴 $x = 1$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的表达式.

(2)、若直线 $C M$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，求证： $B C = E C$ .

(3)、若点 $P$ 是线段 $E M$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似.若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，P是斜边 $A C$ 上一个动点，以 $B P$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D，与 $A C$ 的另一个交点E，连接 $D E$ .

(1)、当 $\overset{⌢}{D P} = \overset{⌢}{E P}$ 时，
①若 $\overset{⌢}{B D} = 130 °$ ，求 $∠ C$ 的度数；

②求证 $A B = A P$ ；

(2)、当 $A B = 15$ ， $B C = 20$ 时，是否存在点P，使得 $△ B D E$ 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 $C P$ 的长.

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20. 如图，点 $A$ 的坐标为 $(3 ， 2)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(3 ， 0)$
①以点 $A$ 为旋转中心，将 $△ A B O$ 顺时针方向旋转90°，得到 $△ A B_{1} O_{1}$ ；

②以点 $(1 ， 0)$ 为位似中心，将 $△ A B O$ 放大 $△ A_{2} B_{2} O_{2}$ ，使相似比为 $1 ： 2$ ，且点 $A_{2}$ 在第三象限．

(1)、在图中画出 $△ A B_{1} O_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} O_{2}$ ；

(2)、请直接写出点 $A_{2}$ 的坐标：（，）

(3)、在上面的（2）问下，直接写出在线段 $O A$ 上的任意动点 $P (a ， b)$ 的对应点 $P_{2}$ 的坐标：（，）．

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21. （1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.

(1)、点B的坐标为， △ABC的面积为；

(2)、在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；

(3)、在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P₁的坐标为.

(4)、按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.

①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.

②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.

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22. 如图所示，身高1.5米的小明从路灯下的A点经过，测量得身后的影子 $A M$ 的长5米，沿 $O A$ 所在的直线行走10米到B点时，身后的影子 $B N$ 长为2米.

(1)、请你确定路灯P的位置

(2)、求路灯P距到地面的距离.

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23. 以下是一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成下列问题.

(1)、（度量操作）

如图1，AB⊥PQ ，垂足为A，AB=3，E为射线AQ上一个动点（点E与点A不重合），∠AEB=∠BEC，BC⊥BE，过点C作CD⊥PQ，垂足为点D.在探究线段AB、线段AE、线段AD三者之间的关系时，通过画图、度量，收集到一组数据如下表：（单位：cm）

AE	1	1.5	1.8	2	2.25	3	4	4.5	5
AD	9	6	5	4.5	4	3	2.25	2	1.8

根据学习函数的经验，选取上表中 $A E$ 和 $A D$ 的数据进行分析：

①设 $A E = x$ ， $A D = y$ ，以 $(x ， y)$ 为坐标，在图2所示的坐标系中描出对应的点；

②连线.

(2)、（观察思考）

结合表中的数据，猜想：当AB=3时， $A E \cdot A D =$ .

(3)、进一步猜想：AB⊥PQ，垂足为A，E为射线AQ上一个动点（点E与点A不重合），∠AEB=∠BEC，BC⊥BE，过点C作CD⊥PQ，垂足为点D.则线段AB、AE、AD三者之间的关系为.

(4)、（推理证明）

请利用图1证明上述（4）中的猜想.

(5)、（逆向运用）

如图3为一张四边形ABCD纸片，∠BAD=∠ADC=90°， $C D = 2 A B = 2 (\sqrt{5} - 1)$ ， AD=2，请通过折纸的方法在AD边上找一个点E，使得BE平分∠AEC.（答题要求：简单叙述折纸的方法即可，不需要证明.）

图3

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24. 如图1是一块内置量角器的等腰直角三角板，它是一个轴对称图形.已知量角器所在的半圆O的直径DE与AB之间的距离为1，DE＝4，AB＝8，点N为半圆O上的一个动点，连结AN交半圆或直径DE于点M.

(1)、当AN经过圆心O时，求AN的长；

(2)、如图2，若N为量角器上表示刻度为90°的点，求△MON的周长；

(3)、当 $\frac{A M}{A N} = \frac{1}{2}$ 时，求△MON的面积.

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一、综合题

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