浙教版数学九上第3章圆的基本性质优生综合题特训

试卷更新日期：2021-11-13 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，点E为 $A C$ 边上一点，连接 $E D$ 并延长至F，使 $E D = F D$ ，以 $E F$ 为底边作等腰 $R t △ E G F$ .

(1)、如图1，若 $∠ A D E = 30 °$ ， $A E = 4$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、如图2，连接 $B F$ ， $D G$ ，点M为 $B F$ 的中点，连接 $D M$ ，过D作 $D H ⊥ A C$ ，垂足为H，连接 $A G$ 交 $D H$ 于点N，求证： $D M = N G$ ；

(3)、如图3，点K为平面内不与点D重合的任意一点，连接 $K D$ ，将 $K D$ 绕点D顺时针旋转 $90 °$ 得到 $K^{'} D$ ，连接 $K^{'} A$ ， $K B$ ，直线 $K^{'} A$ 与直线 $K B$ 交于点P， $D^{'}$ 为直线 $B C$ 上一动点，连接 $A D^{'}$ 并在 $A D^{'}$ 的右侧作 $C^{'} D^{'} ⊥ A D^{'}$ 且 $C^{'} D^{'} = A D^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ ，Q为 $B C$ 边上一点， $C D = 3 C Q$ ， $A B = 12 \sqrt{2}$ ，当 $Q C^{'} + C^{'} P$ 取到最小值时，直线 $C^{'} P$ 与直线 $B C$ 交于点S，请直接写出 $△ B P S$ 的面积.

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2. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与直线 $A B$ 交于 $A (- 4 ， - 4)$ ， $B (0 ， 4)$ 两点，直线 $A C$ ： $y = - \frac{1}{2} x - 6$ 交 $y$ 轴于点 $C$ .点 $E$ 是直线 $A B$ 上的动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ x$ 轴交 $A C$ 于点 $F$ ，交抛物线于点 $G$ .

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的表达式.

(2)、连接 $G B$ ， $E O$ ，当四边形 $G E O B$ 是平行四边形时，求点 $G$ 的坐标.

(3)、①在 $y$ 轴上存在一点 $H$ ，连接 $E H$ ， $H F$ ，当点 $E$ 运动到什么位置时，以 $A$ ， $E$ ， $F$ ， $H$ 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 $E$ ， $H$ 的坐标.
②在①的前提下，以点 $E$ 为圆心， $E H$ 长为半径作圆，点 $M$ 为 $⊙ E$ 上一动点，求 $E M + C M$ 的最大值.

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $B D = \frac{1}{3} B C$ ，将线段 $D B$ 绕点 $D$ 顺时针旋转至 $D E$ ，记旋转角为 $α$ ，连接 $B E$ ， $C E$ ，以 $C E$ 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形 $C E F$ ．连接 $A F$ ．

(1)、如图1，当 $α = 180 °$ 时，请直接写出线段 $A F$ 与线段 $B E$ 的数量关系；

(2)、当 $0 ° < α < 180 °$ 时，
①如图2，（1）中线段 $A F$ 与线段 $B E$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3，当 $B$ ， $E$ ， $F$ 三点共线时，连接 $A E$ ，判断四边形 $A E C F$ 的形状，并说明理由．

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4. 数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 与边长为 $\sqrt{5}$ 的正方形 $A E F G$ 按图1位置放置， $A D$ 与 $A E$ 在同一条直线上， $A B$ 与 $A G$ 在同一条直线上．

(1)、小明发现 $D G ⊥ B E$ ，请你帮他说明理由．

(2)、如图2，小明将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，当点 $B$ 恰好落在线段 $D G$ 上时，请你帮他求出此时 $B E$ 的长．

(3)、填空：
①在旋转过程中，如图3，连接 $B G$ ， $G E$ ， $E D$ ， $D B$ ，则四边形 $B G E D$ 的面积最大值为．

②如图4，分别取 $B G$ ， $G E$ ， $E D$ ， $D B$ 的中点 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ ，连接 $M N$ ， $N P$ ， $P Q$ ， $Q M$ ，则四边形 $M N P Q$ 的形状为．

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5. 数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知 $△ A B C$ 中，AB=AC=m，BC=n， $∠ B A C = α (0 ° < α < 180 °)$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究 $\frac{E F}{A P}$ 的值和 $β$ 的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1)、问题发现：
小明研究了 $α = 60 °$ 时，如图1，求出了 $\frac{E F}{P A} =$ ， $β =$ ；

小红研究了 $α = 90 °$ 时，如图2，求出了 $\frac{E F}{P A} =$ ， $β =$ ；

(2)、类比探究：
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 $\frac{E F}{P A}$ ；

归纳总结：

最后他们终于共同探究得出规律：

$\frac{E F}{P A} =$ （用含m、n的式子表示）； $β =$ （用含α的式子表示）．

(3)、求出 $α = 120 °$ 时 $\frac{E F}{P A}$ 的值和 $β$ 的度数．

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6. 如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF ，取AF中点M ， EF的中点N ，连接MD、MN ．

(1)、连接AE ，则△AEF是三角形，MD、MN的数量关系是．

(2)、如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

(3)、将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

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7. 如图， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点D为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点.

(1)、连接 $O D$ .求证： $O D // A C$ .

(2)、设 $O D$ 交 $B C$ 于E，若 $B C = 4 \sqrt{3}$ ， $D E = 2$ .求阴影部分面积.

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8. 如图

(1)、如图1，在半径为1的 $⊙ O$ 中，弦 $A B = \sqrt{2}$ ， $C D = 1$ ，且 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $E$ ，则 $∠ A E B =$ $°$ .

(2)、如图2，在半径为2的 $⊙ O$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $C$ 是弧 $A B$ 上任意一点，且 $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A B$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ，延长 $A C$ 、 $D B$ 交于点 $F$ .
①若点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，求 $∠ F$ 的度数.

②若点 $C$ 不是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $∠ F$ 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变化，请求出 $∠ F$ 的度数.

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9. 如图，在 $⊙ O$ 中，AC为 $⊙ O$ 的直径， AB为 $⊙ O$ 的弦，点 E 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M ，交 $⊙ O$ 于点 N ，分别连接 EB ， CN .

(1)、 $E M$ 与 $B E$ 的数量关系是；

(2)、求证： $\overset{⌢}{E B} = \overset{⌢}{C N}$ ；

(3)、若 $A M = \sqrt{3}$ ， $M B = 1$ ，求阴影部分图形的面积.

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10. 如图，在⊙ $O$ 中， $A B$ 是直径， $A B ⊥ C D$ ，垂足为P，过点 $D$ 的 $⊙ O$ 的切线与 $A B$ 的延长线交于点 $E$ ，连接 $C E$ .

(1)、求证： $C E$ 为⊙ $O$ 的切线；

(2)、若⊙ $O$ 半径为3， $C E = 4$ ，求 $\sin ∠ D E C$ .

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 边于点 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ .

(1)、求证： $D E$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、 $F$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $D F$ ， $B F$ ，若 $D F = 1 + \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{3} A B$ ，求劣弧 $\overset{⌢}{B D}$ 的长.

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12. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D.

(1)、求证：PD是⊙O的切线.

(2)、若tan∠PBA＝ $\frac{1}{3}$ ，AC＝12，求直径AB的长.

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13. 已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点.

(1)、如图1，求证：BE－AE＝CG；

(2)、如图2，连接DF，DE.若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝ $\sqrt{5}$ ，求FC的值.

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14. 如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径， $C B$ 为切线， $A C$ 交半圆 $O$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $\overset{⌢}{B D}$ 上一点，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{D E}$ ，BE的延长线交 $A C$ 于点 $F$ ，连结 $A E$ .

(1)、求证： $∠ E A F = ∠ C$ .

(2)、若 $B E = 1$ ， $E F = 2$ ，求 $B C$ 的长.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $D$ 是边 $A C$ 上一动点，且不与 $A$ ， $C$ 两点重合，连结 $B D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B D$ 交边 $B C$ 于点 $E$ ， $△ B D E$ 的外接圆交边 $A B$ 于另一点 $F$ ，连结 $D F$ .

(1)、求证： $△ A D F ∽ △ D B E$ .

(2)、当 $A B = 6$ ， $A C = 8$ 时.
①若 $A D = 3 A F$ ，求 $A D$ 的长.

②当线段 $D E$ ， $D F$ ， $B F$ 中有两条相等时，求出所有符合条件的 $\tan ∠ A D F$ 的值.

(3)、若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $S_{△ A D F} = 1$ ， $S_{△ B D E} = 6$ ，则 $S_{△ C D E} =$ .

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16. 如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D.

(1)、求证：AD⊥BC；

(2)、点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D.
①求证：AG与⊙O相切；

②当 $\frac{A F}{B F} = \frac{2}{5}$ ，CE＝4时，直接写出CG的长.

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17. 如图，⊙O 的半径为 1，弦AB= $\sqrt{2}$ ，弦AC ， BD 交于点E ，且EA=EB ， F是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点.

(1)、求证：△CDE 是等腰三角形．

(2)、若∠B=50°，求∠F 的度数．

(3)、若CF∥BD ，求证：CD=CF ，

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18. 在平面直角坐标系中，抛物线C₁： $y = x^{2} - 2 m x - m$ （m为常数）的顶点为M，与y轴交于点N.

(1)、若点P（ $- \frac{1}{2}$ ，a）在抛物线C₁上，求a的值；

(2)、当点M到x轴的距离是 $\frac{1}{4}$ 时，求m的值；

(3)、在（2）的条件下，且m取有理数时，将抛物线C₁绕点M旋转180°得到抛物线C₂ ，设C₂与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），问在抛物线C₂的对称轴上是否存在点Q，使∠AQB=∠ANB？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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19. 定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图1，在△ $A B C$ 和 $D E F$ 中，若 $∠ A + ∠ E = ∠ B + ∠ D = 90 °$ ，且 $A B = D E$ ，则△ $A B C$ 和 $D E F$ 是“青竹三角形”.

(1)、以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.

(2)、如图2，△ $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D是 $A B$ 上任意一点（不与点A、B重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示 $c^{2}$ ；

(3)、如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”.
①求 $A D^{2} + B C^{2}$ 的值；

②若 $∠ B A C = ∠ A C D$ ， $∠ A B C = 75 °$ ，求△ABC和△ADC的周长之差.

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 是⊙ $O$ 的内接矩形，过点 $A$ 的切线与 $C D$ 的延长线交于点 $M$ ，连接 $O M$ 与 $A D$ 交于点 $E$ ， $A D > 1$ ， $C D = 1$ .

(1)、求证： $△ D B C \sim △ A M D$ ；

(2)、设 $A D = x$ ，求 $△ C O M$ 的面积（用 $x$ 的式子表示）；

(3)、若 $∠ A O E = ∠ C O D$ ，求 $O E$ 的长.

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21. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D$ 为直径，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求证： $∠ C A D = ∠ E C B$ ；

(2)、若 $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线， $∠ C A D = 30 °$ ，连接 $O C$ ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；

②当AB=2时，求AD ， AC与 $\hat{C D}$ 围成阴影部分的面积．

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22. 小明对教材“课题学习”中的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真的探索。他先把正方形ABCD沿对角线AC对折，再把∠BAC对折，使点B落在AC上，记为点E，然后沿CE的中垂线折叠，得到折痕PQ，如图1，类似地，折出其余三条折痕GH，IJ，KO，得到八边形GHIJKOPQ，如图2。

(1)、求证：△CPQ是等腰直角三角形。

(2)、若AB=a，求PQ的长。（用含a的代数式表示）

(3)、我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形.试说明八边形GHIJKOPQ是正八边形，请把过程补充完整。
解：理由如下：

①

∴∠GQP=135°

同理可得：∠QPO=∠POK=∠OKJ=∠KJI=∠JIH=∠IHG=∠HGQ=135°。

②

∴PQ=QG。

同理可得：QG=GH=HI=IJ=JK=KO=PO=PQ

∴八边形GHIJKOPQ是正八边形。

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23. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E.点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG.

(1)、求证：△ECD∽△ABE；

(2)、求证：⊙O与AD相切；

(3)、若BC＝6，AB＝3 $\sqrt{3}$ ，求⊙O的半径和阴影部分的面积.

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24. 如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x ， EH=y ．

(1)、如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；

(2)、如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，
并写出x的取值范围；

(3)、联结AH、EG ，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．

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