浙教版数学九上第1章二次函数优生综合题特训

试卷更新日期：2021-11-13 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 的对称轴是直线 $x = 3$ ，与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若 $M$ 是抛物线上任意一点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $B C$ 于点 $N$ ，若 $M N = 3$ ，求点 $M$ 的坐标．

(3)、设点 $D$ ， $E$ 是直线 $x = 3$ 上两动点，且 $D E = 1$ ，点 $D$ 在点 $E$ 上方，求四边形 $A C D E$ 周长的最小值．

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2. 如图，抛物线的顶点为 $A (0 ， - 1)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (- 2 \sqrt{2} ， 0)$ ，点 $F (0 ， 1)$ 为 $y$ 轴上的一个定点.点 $P (m ， n)$ 是抛物线上一动点.

(1)、求这条抛物线的函数解析式；

(2)、已知直线 $l$ 是过点 $C (0 ， - 3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若点 $P (m ， n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $P F = d$ ；

(3)、已知坐标平面内一点 $D (2 ， 3)$ ，求 $△ P D F$ 周长的最小值，并求出此时 $P$ 点坐标.

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3. 已知：直线 $y = - x + 1$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为直线 $A B$ 上一动点，连接 $O C$ ， $∠ A O C$ 为锐角，在 $O C$ 上方以 $O C$ 为边作正方形 $O C D E$ ，连接 $B E$ ，设 $B E = t$ .

(1)、如图1，当点C在线段 $A B$ 上时，判断 $B E$ 与 $A B$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、真接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；

(3)、若 $\tan ∠ A O C = k$ ，经过点A的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 顶点为P，且有 $6 a + 3 b + 2 c = 0$ ， $△ P O A$ 的面积为 $\frac{1}{2 k}$ .当 $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求抛物线的解析式.

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4. 如图，二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴分别交于点A，B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且经过点（﹣2，5）.

(1)、求b，c的值.

(2)、将点B向下平移m个单位至点D，过点D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于点E，G.若DE＝GF，求m的值.

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5. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0 ， 3)$ ，直线 $y = k x - 1$ 与抛物线交于点 $B$ ， $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，连接 $A C$ ， $C E$ .

(1)、求抛物线的解析式和直线 $B E$ 的解析式.

(2)、点 $P$ 是直线 $B E$ 上方抛物线上一点.若 $S_{△ P A C} ： S_{△ P E D} = 3 ： 4$ ，求此时点 $P$ 的坐标.

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6. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C，顶点为点D.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标；

(3)、已知点 $H (0 ， \frac{45}{8})$ ， $G (2 ， 0)$ ，在抛物线对称轴上，找一点F，使 $H F + A F$ 的值最小.此时，在抛物线上是否存在一点K，使 $K F + K G$ 的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

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7. 如图，抛物线y=ax² + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3).

(1)、求抛物线y= ax² + bx + c 的解析式；

(2)、求△AOC和△BOC的面积比；

(3)、在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小.若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由.

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8. 如图①，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的解析式；

(2)、如图②，连接 $B C$ ，点 $E$ 是第三象限内抛物线上的动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ， $E G // y$ 轴交 $B C$ 于点 $G$ ，求 $△ E F G$ 面积的最大值及此时点 $E$ 的坐标；

(3)、如图③，若抛物线的顶点坐标为点 $D$ ，点 $P$ 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 $Q$ ，使得以 $B$ ， $D$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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9. 定义：如果两个函数y₁ ， y₂存在x取同一个值，使得y₁＝y₂ ，那么称y₁ ， y₂互为“等值函数”，对应的x值为y₁ ， y₂的“等值根”．

(1)、函数y₁＝ $\frac{1}{2}$ x+b与 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．

(2)、如图所示的是y＝﹣|x²+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x²﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y₁＝ $\frac{1}{2}$ x+b与y₂＝﹣|x²+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 5$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点.抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a \neq 0)$ 经过点 $A$ .

(1)、如果抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a \neq 0)$ 经过点 $B$ ，求该抛物线的解析式；

(2)、如果抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a \neq 0)$ 的顶点 $P$ 位于 $△ A O B$ 内.
①求 $c$ 的取值范围；

②将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过点 $A$ ，此时点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 坐标为 $(10 - m ， \frac{11}{10} c)$ ，平移后的抛物线与线段 $A B$ 是否还存在其它交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由.

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11. 如图所示，抛物线L：y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B(6，0)两点，对称轴为直线x＝2，顶点为E.

(1)、求抛物线L的函数表达式；

(2)、将抛物线L向左平移2个单位长度得到抛物线 $L^{'}$ ，点M为抛物线L的对称轴上一动点，点N为抛物线 $L^{'}$ 上一动点.是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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12. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y＝ $\frac{1}{4}$ x与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在l上是否存在一点P ，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、知F（x₀ ， y₀）为平面内一定点，M（m ， n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B ，抛物线y＝ax²+bx﹣5a经过点A ．将点B向右平移5个单位长度，得到点C ．

(1)、求点C的坐标；

(2)、求抛物线的对称轴；

(3)、若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．

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14. 如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式：

(2)、设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

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15. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．

(1)、求m的值和反比例函数的解析式；

(2)、观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－ $\frac{k}{x}$ ＞0的解集；

(3)、直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

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16. 已知二次函数y＝x²﹣2x﹣3．

(1)、求出该二次函数图象顶点坐标；

(2)、求图象与两坐标轴的交点坐标；

(3)、结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 交y轴于点A，交x轴于点 $B (- 3 ， 0)$ 和点 $C (1 ， 0)$ .

(1)、求此抛物线的表达式.

(2)、若点P是直线 $A B$ 下方的抛物线上一动点，当 $△ A B P$ 的面积最大时，求出此时点P的坐标和 $△ A B P$ 的最大面积.

(3)、设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线 $A B$ 上确定一点H，使 $△ D H P$ 为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标.

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18. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $B C$ ，求直线 $B C$ 的解析式；

(3)、请在抛物线的对称轴上找一点 $P$ ，使 $A P + P C$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标，并求出此时 $A P + P C$ 的最小值；

(4)、点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. 已知函数y＝ ${\begin{matrix} - x (x \leq 0) \\ x^{2} (x > 0) \end{matrix}$ 的图象如图所示，点A（x₁ ， y₁）在第一象限内的函数图象上.

(1)、若点B（x₂ ， y₂）也在上述函数图象上，满足x₂＜x₁.
①当y₂＝y₁＝4时，求x₁ ， x₂的值；

②若|x₂|＝|x₁|，设w＝y₁﹣y₂ ，求w的最小值；

(2)、过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

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20. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

(1)、写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

(3)、根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

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21. 如图，抛物线 $y = m x^{2} + (m^{2} + 3) x - (6 m + 9)$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 $B (3 ， 0)$ ．

(1)、求m的值和直线 $B C$ 对应的函数表达式；

(2)、Q为抛物线上一点，若 $∠ A C Q = 45 °$ ，求点Q的坐标．

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22. 已知如图，抛物线经过点A(-1，0)、B (3，0)、C(0，2)三点，

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、动点M在抛物线的对称轴上，当△AMC的周长最小时.求点M的坐标：

(3)、点Р是在第一象限内抛物线上的一动点，问点Р在何处时△BCP的面积最大？最大面积是多少?并写出此时点Р的坐标.

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23. 如图，已知抛物线 y=－x²+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴相交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)．

(1)、求 b ， c 的值．

(2)、点 C 关于直线x=1的对称点为点 D，直线 l⊥x 轴，分别交线段 AC，抛物线于 E，F 两点（点 F 在 CD 上方），连结 CF，FD，DE，CD．
①求四边形 CEDF 面积的最大值．

②若△CDE 是等腰三角形，求点 E 的坐标．

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24. 小爱同学学习二次函数后，对函数 $y = - {(| x | - 1)}^{2}$ 进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到加下的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：

(1)、观察探究：
①写出该函数的一条性质：；

②方程 $- {(| x | - 1)}^{2} = - 1$ 的解为：；

③若方程 $- {(| x | - 1)}^{2} = a$ 有四个实数根，则a的取值范围是.

(2)、延伸思考：
将函数 $y = - {(| x | - 1)}^{2}$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $y_{1} = - {(| x - 2 | - 1)}^{2} + 3$ 的图象？写出平移过程，并直接写出当 $2 < y_{1} \leq 3$ 时，自变量x的取值范围.

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