广西河池市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 1}$ ， $B = {x ∣ - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）．

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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2. 已知点 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (0 ， - 3)$ ，则以线段 $A B$ 为直径的圆的方程为（）．

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 20$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ \log_{2} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ （）．

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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4. 与直线 $2 x + y = 0$ 垂直，且在 $x$ 轴上的截距为-2的直线方程为（）．

A、 $x - 2 y + 2 = 0$ B、 $x - 2 y - 2 = 0$ C、 $2 x - y + 2 = 0$ D、 $2 x - y - 2 = 0$

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5. 某化工原料厂原来月产量为100吨，月份增产20%，二月份比一月份减产10%，则二月份产量为（）．

A、106吨 B、108吨 C、110吨 D、112吨

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6. 若函数 $f (x) = a x^{- 2} (a \in R)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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7. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是三条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列正确的是（）．

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ⊥ c$ B、若 $a / / b$ ， $b // α$ ，则 $a // α$ C、若 $a ⊥ α$ ， $α // β$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $a ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $a // β$

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8. 函数 $f (x) = 2^{x} + \ln x - 1$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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9. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则 $z = \sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} - 1$ 的取值范围为（）．

A、 $[3 ， 7]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[2 ， 6]$ D、 $[1 ， 5]$

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减， $a = f (\log_{5} \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $b = f (\log_{5} 3 - \log_{5} 2)$ ， $c = f (\frac{1}{2} \log_{5} 3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B ， E$ 为 $A P$ 的中点，则异面直线 $P C$ 与 $D E$ 所成的角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = | 2^{x} - 1 | + x^{2} - a - 1 (a \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 有且仅有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\ln (x - 1)}{x - 2}$ 的定义域为．

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14. 已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为 $8 π$ ，则圆柱的高为．

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15. 若函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{a} - \frac{a}{2^{x}} + x (a \neq 0)$ 为 $R$ 上的奇函数，则实数 $a$ 的值为．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 A D = 4$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 化简求值：

(1)、 ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}} + (2^{\frac{1}{2}} + 1) (2^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt[3]{- 8}$ ；

(2)、 $\lg \sqrt{2} + \lg \frac{\sqrt{5}}{3} - \lg \frac{5}{6} + \lg 25 + \log_{3} 4 \cdot \log_{2} 9$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (1 - x) > f (x + 3)$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = a^{x} + f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值和最小值之和为 $a^{2} + a - 1$ ，求实数 $a$ 的值．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C C_{1} = ∠ B C C_{1}$ ， $A C = B C$ ．

(1)、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为1，求三棱锥 $C_{1} - A B C$ 的体积；

(2)、证明： $A B ⊥ C C_{1}$ ．

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为AB的中点，F为 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ， $A B = 3$ ， $A A_{1} = 4$ ，求点E到平面 $A C_{1} D$ 的距离．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆C的方程为 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A ， B两点（A ， B两点均不在x轴上）．

(1)、若 $∠ A M B = 60 °$ ，求直线l的方程；

(2)、求 $△ A B M$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增；

(3)、令 $g (x) = f (2 x) - 2 a f (x)$ （其中 $a \in R$ ），求函数 $g (x)$ 的值域．

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