广西贵港市2020-2021学年高一上学期数学期末监测试卷

试卷更新日期：2021-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin 495 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \lg (x^{2} + 1) ， x < 0 ， \\ 2 x ， x ⩾ 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 3)) =$ （）

A、2 B、0 C、20 D、6

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 5) ， \vec{b} = (1 ， 6)$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、3 B、6 C、10 D、5

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4. 函数 $f (x) = - 3^{x} + \log_{\frac{1}{2}} x + 4$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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5. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (7 ， 1)$ ，则 $\cos (π + α) + \sin (\frac{3 π}{2} + α) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{5}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{5}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{\ln (3 - x)}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 3]$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， 3]$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， 3)$

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7. 已知 $θ$ 为第三象限角，则（）

A、 $\sin 2 θ > 0$ B、 $\cos (π + θ) < 0$ C、 $\tan θ < 0$ D、 $\sin (π - θ) > 0$

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8. 已知 $f (x)$ 是R上的奇函数， $g (x)$ 是R上的偶函数，且 $f (x) + g (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 3 x + 1$ ，则 $f (1) + g (2) =$ （）

A、5 B、6 C、8 D、10

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9. 如图，在正六边形 $A B C D E F$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A F} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ B、 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{a} + \vec{b}$

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10. 已知 $a = \log_{3} 12 ， b = 3^{- 0.2} ， c = \tan \frac{7 π}{24}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}), g (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $x = \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 B、将 $g (x)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度即可得到 $f (x)$ 的图象 C、 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递减 D、函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 的最大值为4

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} - x + 2 ， x ⩽ 1 ， \\ a x - a + 1 ， x > 1 \end{array}$ 恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知集合 $A = {x | 2 x - 1 > 5}$ ， $B = {x | x + 3 < 7}$ ，则 $A \cap B =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (9 ， 6) ， \vec{b} = (3 ， x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ .

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15. 函数 $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2}$ 的值域为.

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16. 已知 $2 \sin α = 1 + \cos α$ ，则 $\tan \frac{α}{2} =$ . $(\frac{α}{2} \neq \frac{π}{2} + k π ， k \in Z)$

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三、解答题

17. 计算：　　　　　　

(1)、 $4^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{2}{3}} \times \sqrt[3]{3} + {(- \frac{1}{2})}^{0}$ ；

(2)、 $\lg 5 + \lg 2 \times \lg 5 + \log_{2} 3 \times \log_{3} 16 + \lg^{2} 2$ .

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18. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ .

(1)、求 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，求 $λ$ 的值.

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19. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2}) ， \sin α = \frac{5}{7} ， \cos (α + β) = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 α + β)$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性.

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 是定义域内的减函数.

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21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\overset{⇀}{C F} = 2 \overset{⇀}{F D}$ .

(1)、若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $3 x + 2 y$ 的值；

(2)、若 $| \vec{A B} | = 6$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) \cos φ - \sin (ω x + 2 φ) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增.

(1)、求 $ω$ 的取值范围；

(2)、当 $ω$ 取最小正整数时，关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - \frac{1}{2} f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 在区间 $(- \frac{π}{6} ， m)$ 上恰有5个实数根，求m的取值范围.

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