安徽省芜湖市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ - \sqrt{x} ， x > 0 \end{array} ，$ 则 $f (f (4)) =$ （）

A、-4 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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2. 设非空集合 $P ， Q$ 满足 $P \cup Q = Q$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $\forall x \in P ， x \in Q$ B、 $\forall x \in Q ， x \in P$ C、 $\exists x \in P ， x \notin Q$ D、 $\forall x \in Q ， x \notin P$

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3. 若“ $x \geq a$ ”是“ $x \geq \frac{1}{2}$ ”的充分条件，则下列不可能是 $a$ 的一个取值的是（）

A、 $sin \frac{π}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、π

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4. 已知函数 $f (x) = \sqrt{8 + 2 x - x^{2}}$ ，则函数 $y = f (x) + f (x - 3)$ 的定义域是（）

A、[-5，4] B、[-2，7] C、[-2，1] D、[1，4]

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5. 已知 $α \in (0, π)$ ， $\sin α + \cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[m - 9 ， 2 m + 3]$ 上的奇函数，且当 $x ⩽ 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x ，$ 则 $f (m)$ 的值为（）

A、-2 B、-6 C、2 D、6

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7. 某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数 $f (x)$ 可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ C、 $f (x) = \frac{1}{1 - | tan \frac{π}{2} x |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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8. 已知函数 $f (n) = 2 sin (\frac{n π}{2} + \frac{π}{4}) + 1 (n \in N^{*})$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2021) =$ （）

A、2020 B、 $2021 + \sqrt{2}$ C、 $2022 + \sqrt{2}$ D、 $2022 \sqrt{2}$

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9. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{- 0.6} ， b = tan (- 130^{\circ}) ， c = {log}_{1.3} 0.4$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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10. 已知 $α ， β$ 都是锐角，且 $cos β = \frac{1 + sin β}{tan α}$ ，则有（）

A、 $α - β = \frac{π}{4}$ B、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ C、 $α + β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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11. 已知圆心角为 $60^{\circ}$ 的扇形内部有一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C面积为 $π$ 时，该扇形的面积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，它的图象是连续不断的，且当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 是严格单调函数，则满足 $f (x) = f (\frac{x + 2}{x + 3})$ 的所有 $x$ 之和为（）

A、-2 B、2 C、-6 D、-8

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二、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m + 1}$ 是偶函数，则 $m =$ .

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14. 已知命题 $p ：$ “ $\forall x \in R$ ， $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 恒成立”是真命题，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 将函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ$ 后得到一个奇函数的图象，则 $φ$ 的最小正值是.

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16. 当 $x = θ$ 时.函数 $f (x) = sin x - 2 cos x$ 取得最大值，则 $2 cos θ + sin θ =$ .

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17. 在平面直角坐标系中，对任意角 $α$ ，设 $α$ 的终边上异于原点的任意一点 $P$ 的坐标为 $(x ， y)$ ，它与原点的距离是 $r$ .我们规定：比值 $\frac{r}{x} ， \frac{r}{y} ， \frac{x}{y}$ 分别叫做角 $α$ 的正割､余割､余切，分别记作 $\sec α$ ， $\csc α$ ， $\cot α$ ，把 $y = \sec x ， y = \csc x ， y = \cot x$ 分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有(填上所有正确的序号)
① $cot \frac{3 π}{4} = 1$ ；

② $sin α \cdot csc α = 1$ ；

③ $y = sec x$ 的定义域为 ${x | x \neq k π ， k \in Z}$ ；

④ ${sec}^{2} α + {csc}^{2} α ⩾ 4$ ；

⑤ $cot 2 α = \frac{{cot}^{2} α - 1}{2 cot α}$ .

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三、解答题

18. 已知集合 $A = {x ∣ sin x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}} ， B = [- 2 π ， 2 π]$

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、求集合 $A \cap B$ .

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19. 已知 $f (θ) = \frac{sin (π - θ) cos (π + θ)}{cos 2 θ + 1}$

(1)、化简 $f (θ)$ ；

(2)、若 $tan θ = 2$ ，求 $f (θ + \frac{π}{4})$ 值.

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20.

(1)、计算 ${log}_{3} 2 \cdot {log}_{4} 81 + {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + tan \frac{3 π}{4}$ ；

(2)、解关于 $x$ 的方程 $4^{x} - 2^{x + 2} + 3 = 0$ .

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21. 函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $B (\frac{7 π}{3} ， 0)$ ，且最高点A与B的距离 $A B = \sqrt{9 + π^{2}}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $α \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}) ， f (4 α) = \sqrt{3}$ ，求 $cos 2 α$ 的值.

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22. 在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：

(1)、已知正数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值.
甲给出的解法是：由 $x + 2 y = 1 \geq 2 \sqrt{2 x y}$ ，得 $\sqrt{x y} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ ，

则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{2}{x y}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x y}} \geq 8$ ，所以 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为8

而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；

(2)、结合上述问题（1）的结构形式，试求函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \frac{3}{1 - 2 x} (0 < x < \frac{1}{2})$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + \frac{8}{x} - 5$

(1)、用定义证明 $f (x)$ 在(0，2)内单调递减；

(2)、证明 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 存在两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 4.$

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