安徽省马鞍山市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U={1，2，3，4，5，6}$ ，集合 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ，集合 $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1，6}$ B、{6} C、 ${3 ， 6}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 已知圆心为 $O$ 的圆形金属板的半径 $O A = 2$ ，在该板上截取一块扇形板 $A O B$ ，其圆心角的弧度数为 $\frac{π}{3}$ ，则该扇形板的面积为（）

A、 $\frac{π^{2}}{9}$ B、 $\frac{2 π^{2}}{9}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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3. 下列函数既是偶函数，又在 $(- \infty ， 0)$ 单调递增的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = 6 + 2 x^{2}$ D、 $y = - \lg | x |$

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4. 已知 $a = {(\frac{4}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ， $b = {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \log_{\frac{4}{3}} \frac{1}{3}$ 则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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5. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{\sin α - \cos α} =$ （）

A、-5 B、-4 C、4 D、5

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6. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， & x \leq 0 \\ - 2 x ， & x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、26 B、17 C、8 D、-10

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7. 已知 $\cos (\frac{π}{2} - α) = \frac{4}{5}$ ， $\sin (π + β) = - \frac{5}{13}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{63}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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8. 方程 $e^{x} + 4 x - 5 = 0$ 的解所在区间为（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(1 ， \frac{3}{2})$

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9. 函数 $f (x) = 4 x + \frac{1}{x - 2} (x > 2)$ 的最小值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，它可由函数 $y = \sin x$ 的图象变换而得，这个变换可以是（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标变为原来的2倍 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标变为原来的2倍 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍

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11. 函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ 与 $g (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$ 的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和为（）

A、12 B、6 C、4 D、2

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二、填空题

12. 已知 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | 2^{x} < 4}$ ， $p ： x \in A$ ， $q ： x \in B$ ，则 $p$ 是 $q$ 的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）.

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13. 求值： ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- \frac{2}{3})}^{0} + \lg^{2} 2 + \lg 25 + \lg 2 \cdot \lg 50 =$ .

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14. 已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan 2 α =$ .

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15. 已知 $\forall x \in R$ ， $α x^{2} + a x + 1 > 0$ ，则实数a的取值范围是.

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16. 有一架两臂不等长（左臂长于右臂）的天平，将5g的砝码放在右盘时，将某种粉末ag放在左盘可使天平平衡；将5g的砝码放在左盘时，将该粉末bg放在右盘也使天平平衡，则a+b10（填“>”、“=”或“<”）.将该粉末 $(a + b) g$ 放在左盘，右盘放12g砝码时，天平恰好平衡.用这架天平称重时，砝码放在右盘，则物体的实际质量y（g）与砝码的质量x（g）的函数关系式为.（不考虑定义域）

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ \log_{3} x > 0}$ ， $B = {x ∣ (x - 2) (x + 1 + a) < 0}$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数a的取值范围.

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18. 为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒.室内每立方米空气的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示.在药物释放过程中，y与x成正比（对应图中OA）；药物释放完毕后，y与x函数关系式为 $y = k \cdot {(x + a)}^{- 1}$ （k为常数，其图象经过点B）.根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式；

(2)、据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室.学校每天19：00准时对教室进行药熏消毒，那么第二天6：30后，学生能否进教室？并说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (2 + x) - \log_{2} (2 - x)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并予以证明；

(2)、解不等式： $f (x) > 1$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + \sin (2 x - \frac{π}{6}) + \cos 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时，求 $f (x)$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ .不等式 $f (x) < 3$ 的解集为（0，2），且 $f (3) = 9$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $x \in [t ， t + 1]$ 上的最小值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的表达式.

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