安徽省六安市舒城县2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {x | 3 - 2 x > 0}$ 则（）

A、 $A \cap B = {x | x < \frac{3}{2}}$ B、 $A \cap B = ϕ$ C、 $A \cup B = {x | x < \frac{3}{2}}$ D、 $A \cup B = R$

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2. 下列四个命题，真命题的是（）

A、 $\forall x \in Q ， x^{2} - 1 = 0$ B、 $\exists x \in Z ， 5 x - 1 = 0$ C、 $\exists x \in N ， 1 < 4 x < 3$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} + x + 2 > 0$

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3. 若 $a = e^{0.5}$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \log_{2} 0.2$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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4. 函数 $f (x) = \frac{3}{x} - \ln x$ 的零点所在的大致区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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5. 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）

A、135平方米 B、270平方米 C、540平方米 D、1080平方米

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6. 若角 $θ$ 的终边经过点 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} + θ) + \cos (π - θ) + \tan (2 π - θ) =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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7. 如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象，则其解析式是（）

A、 $f (x) = 3 \sin (x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 3 \sin (x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $(x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$

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8. 若将函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{12})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法不正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、 $x = \frac{π}{12}$ 不是函数 $g (x)$ 图象的对称轴 D、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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9. 设 $2^{a} = 5^{b} = m$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、20 D、100

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有两个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{11}{6} ， \frac{17}{6})$ B、 $[\frac{11}{6} ， \frac{17}{6})$ C、 $(\frac{5}{3} ， \frac{8}{3})$ D、 $[\frac{5}{3} ， \frac{8}{3})$

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11. 设m，n为正数，且 $m + n = 2$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{5}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{3}$ C、5 D、 $\frac{9}{5}$

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12. 设 $m$ ， $n$ 为正数，且 $m + n = 2$ ，则 $\frac{1}{m + 1} + \frac{1}{n + 2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{- 2} ， x \in (- \infty ， 0) \\ \ln x ， x \in (0 ， 1) \\ - x^{2} + 4 x - 3 ， x \in [1 ， + \infty) \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有两个零点，则实数m不可能是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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14. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (- x) = f (x)$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，则函数 $g (x) = | \cos (π x) | - f (x)$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， \frac{5}{2}]$ 上的所有零点的和为（）

A、7 B、6 C、3 D、2

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二、填空题

15. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{3 m - 4}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为减函数，则 $m$ 的值为；

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16. 已知函数 $y = \sin (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则 $φ$ 的值是．

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17. 已知函数 $y = a {(\frac{1}{2})}^{| x |} + b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = 1$ 但又不与该直线相交，则 $a + b =$ .

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18. 已知函数 $y = a {(\frac{1}{2})}^{| x |} + b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = 1$ 但又不与该直线相交，则 $a - b =$ ．

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19. 若 $\sqrt{3} \cos α + \sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} - 2 α) =$ .

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20. 已知 $\frac{\tan α}{\tan (α + \frac{π}{4})} = - \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{4})$ 的值是.

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三、解答题

21. 计算或化简下列各式：

(1)、 $\frac{{(a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{- 1})}^{- \frac{1}{2}} \cdot a^{- \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[6]{a \cdot b^{5}}}$ ；

(2)、 $\lg 5 \cdot (\lg 8 + \lg 1000) + 3 \lg^{2} 2 + \lg \frac{1}{6} + \lg 0.06$ .

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22. 已知 $p ： x^{2} - 3 x - 10 < 0$ ，命题 $q ： | x - m | < 1$ .

(1)、当 $m = 5$ 时， $p$ 和 $q$ 都是真命题，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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24. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 2)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $a f (x) > 0$ （其中 $a \in R$ ）；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $(a + 1) x^{2} - 2 a x > f (x) + 4$ （其中 $a \in R$ ）.

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25. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，（e为自然对数的底数）.

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；

(2)、已知关于x的不等式 $f (a + 2 \ln (| x | + 1)) + f (\frac{x^{2}}{2}) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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26. 某网购店从2016年起参与“双十一”促销活动，已知2016-2018年“双十一”期间该网购店的销售额分别为10万元、12万元、13万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网站的销售额 $y$ (万元)与年份数 $x$ 的关系(为计算方便，2016年用 $x = 1$ 代替，依此类推)，模拟可以选用二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 或函数 $y = a \cdot b^{x} + c$ (其中 $a ， b ， c$ 为常数)，若已知2019年“双十一”期间该网购店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测2020年“双十一”期间该网店的销售额.

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27. 某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%.

(1)、若某业务员的业绩为100万核定可得4万元奖金，若该公司用函数 $y = \lg x + k x + 1$ （k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知 $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）

(2)、若采用函数 $f (x) = \frac{10 x - a}{x + 4}$ 作为奖励函数模型试确定最小的正整数a的值.

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