安徽省滁州市定远县重点中学2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 对于非空数集M，定义 $f (M)$ 表示该集合中所有元素的和.给定集合 $S = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，定义集合 $T = {f (A) | A \subseteq S ， A \neq \emptyset}$ ，则集合 $T$ 的元素的个数为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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2. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $\lg (a b) > 0$ ”是“ $\lg (a + b) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若命题“ $\exists x \in R ，$ 使 $x^{2} + (a － 1) x + 1 < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $1 \leq a \leq 3$ B、 $－ 1 \leq a \leq 3$ C、 $－ 3 \leq a \leq 3$ D、 $－ 1 \leq a \leq 1$

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4. 若关于x的不等式 $2 x (x - 1) + 2 \geq a (x - 1)$ 对于一切 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $(4 ， + \infty]$ C、 $(- \infty ， 6]$ D、 $(6 ， + \infty]$

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5. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \sin x$ ，则关于 $a$ 的不等式 $f (a - 2) + f (a^{2} - 4) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(\sqrt{3}$ ， $2)$ C、 $(2 ， \sqrt{5})$ D、 $(\sqrt{3} ， \sqrt{5})$

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6. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且 $y = f (x + 1)$ 为偶函数，当 $- 1 ⩽ x ⩽ 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2}$ ，则 $f (\frac{7}{2}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} ， x < 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{cases}$ ， $g (x) = f (x) - x + a$ ，若 $g (x)$ 恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < - 1$ B、 $a > 0$ C、 $- 1 < a < 0$ D、 $a > 1$

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8. 已知 $\sin α + \cos α = \frac{1}{5}$ ， $α \in (0 ， π)$ ，则 $\tan α$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、- $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、- $\frac{4}{3}$

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9. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ ，则 $g (x)$ 具有性质（）

A、在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增，为偶函数 B、最大值为1，图象关于直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 对称 C、在 $(- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8})$ 上单调递增，为奇函数 D、周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称

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10. 已知定义在R上函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ， $f (- x) = - f (x)$ ，且 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递增，若 $a = f (\log_{2} 3)$ ， $b = f (\sqrt{10})$ ， $c = f (2020)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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11. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， 0]$ 上的最小值为0

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12. 如图所示，扇形 $O Q P$ 的半径为 $2$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ， $C$ 是扇形弧上的动点，四边形 $A B C D$ 是扇形的内接矩形，则 $S_{A B C D}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x + 1}$ ，则 $f (\frac{1}{10}) + f (\frac{1}{9}) + f (\frac{1}{8}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \dots + f (8) + f (9) + f (10) =$ .

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14. 已知 $f (x + 1)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty ， 1]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，且 $f (3) = 0$ ，则 $\frac{f (x)}{x} > 0$ 的解集为.

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15. 已知 $α$ 、 $β$ 均为锐角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ， $\cos (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos 2 β =$

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16. 以下说法中正确的是．
①函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在区间 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上单调递减；

②函数 $y = a^{x + 1} + 1 (a > 1)$ 的图象过定点 $(- 1, 2)$ ；

③若 $x_{1}$ 是函数 $f (x)$ 的零点，且 $m < x_{1} < n$ ，则 $f (m) \cdot f (n) < 0$ ；

④方程 $2^{\log_{3} x} = \frac{1}{4}$ 的解是 $x = \frac{1}{9}$

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三、解答题

17. 已知函数f(x)的定义域为（-3，3），设f(2x-1)的定义域为M，集合 $N = {x | \frac{2 x - 6}{x - 1} \geq 1}$ 集合 $P = {x | (x - a) (x + a - 1) < 0}$ .

(1)、求M∩N， $(∁_{R} N) \cup M$ ；

(2)、若 $x \in N$ 是 $x \in P$ 的必要条件，求a的取值范围.

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18.

(1)、求值： $64^{\frac{1}{3}} - {(- \frac{2}{3})}^{0} + {(\frac{1}{25})}^{- \frac{1}{2}} + lg 2 + lg 50 + 2^{1 + {log}_{2} 3}$ ；

(2)、已知x是第三象限角，且 $tan x = 2$ ， $f (x) = \frac{cos (\frac{π}{2} + x) cos (- x) sin (\frac{3 π}{2} - x)}{sin (- π - x) cos (2 π - x)}$ ，先化简 $f (x)$ ，再求 $f (x)$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ .

(1)、判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数；

(3)、当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $m f (x) + 1 - 2^{x} \geq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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20. 若函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，且当 $x = \frac{2 π}{3}$ 时， $f (x)$ 取得最小值．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及其单调递减区间；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{6}]$ ，求 $f (x)$ 的值域．

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21. 某工厂生产某种商品的年固定成本为250万元，每生产 $x (x \in N^{*})$ 千件需另投入成本为 $C (x)$ （万元）.当年产量不足80千件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 10 x$ （万元）；当年产量不小于80千件时， $C (x) = 51 x + \frac{10000}{x} - 1450$ （万元）.通过市场分析，每件售价为500元最为合适.

(1)、写出年利润 $L$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、该产品年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？

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22. 定义在D上的函数 $f (x)$ ，若满足：对任意 $x \in D$ ，存在常数 $M > 0$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称 $f (x)$ 是D上的有界函数，其中M称为函数 $f (x)$ 的上界．

(1)、设 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ，判断 $f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ 上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出 $f (x)$ 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = 1 + a \cdot {(\frac{1}{3})}^{x} + {(\frac{1}{9})}^{x}$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

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