安徽省安庆市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 定义集合A与B的“差集”运算： $A - B = {x | x \in A$ 且 $x \notin B}$ ，已知 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，则 $A - B =$ （）

A、{3} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $α$ ， $β \in R$ ，则“ $α = β$ ”是“ $\sin α = \sin β$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题 $p$ ：对任意 $x > 1$ ，都有 $x^{2} > 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、对任意 $x > 1$ ，都有 $x^{2} \leq 1$ B、不存在 $x < 1$ ，使得 $x^{2} \leq 1$ C、存在 $x \leq 1$ ，使得 $x^{2} > 1$ D、存在 $x > 1$ ，使得 $x^{2} \leq 1$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 为有理数 \\ - 1 ， x 为无理数 \end{array}$ ，为则下列有关函数 $f (x)$ 的命题中，错误的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 ${- 1 ， 1}$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 是周期函数

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5. 下列函数中不能用二分法求零点的是（）

A、 $f (x) = 4 x - 3$ B、 $f (x) = \ln x + 2 x - 8$ C、 $f (x) = \sin x + 1$ D、 $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

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6. 半径为2，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形所夹的弓形（如图所示的阴影部分）面积为（）

A、 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ B、 $\frac{4 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{2 π}{3} - \sqrt{3}$

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7. 设 $a = {(\frac{1}{2})}^{0.5}$ ， $b = {0.3}^{0.5}$ ， $c = \log_{0.3} 0.2$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系（）．

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $a > b > c$ D、 $a < c < b$

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8. 设函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \sin 2 x + \cos x + m$ （m为常数），则 $f (- π)$ 等于（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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9. 已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = x^{2} - | 3 x | + 2$ B、 $f (x) = 2^{| x |} + 2$ C、 $f (x) = e^{x} - | x |$ D、 $f (x) = 2^{| x |} - x^{2}$

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10. 已知 $\sin (α + \frac{5 π}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = \lg [x^{2} - 2 (a - 1) x + 5]$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上有最小值，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， \sqrt{5} + 1)$ B、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ C、 $(2 ， \sqrt{5})$ D、 $(\frac{3}{2} ， \sqrt{5} + 1)$

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12. 函数 $f (x) = \sin^{4} x + \cos^{4} x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{25}{16}$

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二、填空题

13. 已知点 $P (4 ， 8)$ 在幂函数 $f (x)$ 的图象上，则 $f (5)$ 等于.

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14. 若命题“ $\exists x \in R ， x^{2} + a x + 1 < 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 计算 $2^{\log_{4} {(1 - \sqrt{2})}^{2}} - 2 \sin \frac{5 π}{4} + 2021^{0} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = 2 - a^{x - 2 \sqrt{2}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）过定点P，且点P在角 $(α + \frac{π}{6})$ 的终边上 $\cos α =$ .

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三、填空题

17. “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式 $\tan θ = \frac{\sin 2 θ}{（）} =$ $\frac{（）}{\sin 2 θ}$ ，第一个括号为，第二个括号为.

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四、解答题

18. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 > 0}$ ， $B = {x | a \leq x \leq 2 a - 1}$ ，设全集 $U = R$ .

(1)、求集合 $A$ 的补集 $∁_{U} A$ ；

(2)、若 $(∁_{U} A) \cap B = \emptyset$ ，求实数a的取值范围.

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19.

(1)、已知 $\sin α = 3 \cos α$ ，求 $\sin α \cos α$ 的值；

(2)、已知 $\lg 2 = a$ ， $\lg 3 = b$ ，试用a，b表示 $\log_{15} 18$ .

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20. 已知正实数x，y满足 $4 x + 4 y = 1$ .

(1)、求xy的最大值；

(2)、若不等式 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y} \geq a^{2} + 5 a$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期是π.

(1)、求 $ω$ 值；

(2)、求 $f (x)$ 的对称中心；

(3)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递增区间.

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22. 如图，在扇形OAB中， $∠ A O B = \frac{3 π}{4}$ ，半径 $O A = 2$ .在 $\overset{⌢}{A B}$ 上取一点M，连接 $O M$ ，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.

(1)、设 $∠ A O M = x$ ，将四边形MEOF的面积S表示成 $x$ 的函数，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、求四边形MEOF的面积S的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ， $a > 0$ ，且 $a \neq 1$

(1)、求证：函数 $f (x)$ 为定义域上的偶函数；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = \frac{1}{2} x + a$ 图象有交点，求a的取值范围.

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