山西省寿阳市2021-2022学年九年级10月月考数学试题

试卷更新日期：2021-11-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）

A、3x+1=0 B、x²+3=0 C、3x²﹣1=0 D、3x²+6x+1=0

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2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 8 x = - 7$ ，下一步骤正确的是（）

A、 $x^{2} + 8 x + 4^{2} = - 7 + 4^{2}$ B、 $x^{2} + 8 x + 4^{2} = - 7$ C、 $x^{2} + 8 x + 8^{2} = - 7$ D、 $x^{2} + 8 x + 8^{2} = - 7 + 8^{2}$

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3. 如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（）

A、22.5° B、30° C、35° D、45°

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4. 如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（）

A、AC：EC＝2：5 B、AB：CD＝2：5 C、CD：EF＝2：5 D、AC：AE＝2：5

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5. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为8的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{5}{36}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验（如图）．小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验．小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾．你认为小颖买的这块纱巾一定是（）

A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形

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7. 根据下面表格中的对应值：

x

3.23

3.24

3.25

3.26

ax²+bx+c

﹣0.06

﹣0.02

0.03

0.09

判断方程ax²+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）

A、3.22＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24 C、3.24＜x＜3.25 D、3.25＜x＜3.26

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8. 如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 $\frac{A E}{A D} = \frac{A D}{A B}$ ，那么a的值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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9. 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨 $x$ 元，可列方程为： $(30 + x - 20)$ $(300 - 10 x)$ $= 3750$ .对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（）

A、 $(30 + x)$ 表示涨价后玩具的单价 B、 $10 x$ 表示涨价后少售出玩具的数量 C、 $(300 - 10 x)$ 表示涨价后销售玩具的数量 D、 $(30 + x - 20)$ 表示涨价后的每件玩具的单价

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10. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）

A、平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C、平行四边形→正方形→菱形→矩形 D、平行四边形→菱形→正方形→矩形

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二、填空题

11. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ ，则 $\frac{a + b - c}{a}$ 的值为．

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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13. “杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约700公斤，2020年平均亩产量约1008公斤．则平均亩产量的年平均增长率为．

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14. 同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．

抛掷次数	500	1000	1500	2000	3000	4000	5000
盖面朝上次数	275	558	807	1054	1587	2124	2650
盖面朝上频率	0.550	0.558	0.538	0.527	0.529	0.531	0.530

下面有两个推断：

①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；

②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558；

其中合理的推断的序号是：．

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15. 如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE=2；作EF $//$ BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长为．

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三、解答题

16. 解下列方程

(1)、

x^{2} - 4 x - 5 = 0

(2)、

x^{2} + x = 56

(3)、

4 {(x + 2)}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}

(4)、小敏与小霞两位同学解方程

3 (x - 3) = {(x - 3)}^{2}

的过程如下框：

小敏：

两边同除以 $(x - 3)$ ，

得 $3 = x - 3$ ，

则 $x = 6$ ．

小霞：

移项，得 $3 (x - 3) - {(x - 3)}^{2} = 0$

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$

$则 x - 3 = 0 或 3 - x - 3 = 0$

$解得 x_{1} = 3 ， x_{2} = 0$

你认为他们的解法是否符合题意？若符合题意请在框内打“√”；若不符合题意请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

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17. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．现已知一元二次方程 $p x^{2} + 2 x + q = 0$ 的两根分别为m，n．

(1)、若 $m = 2 ， n = - 4$ ，求 $p ， q$ 的值；

(2)、若 $p = 3 ， q = - 1$ ，求 $m + m n + n$ 的值．

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18. 中华人民共和国第十四届全运会于2021年9月15日至2021年9月27日在陕西西安举行．女子兵乒球进入四分之一比赛的选手分别是孙颖莎、陈梦、王曼昱、刘诗雯，在进行半决赛时，需要通过抽签决定分组情况．

(1)、若让孙颖莎从三位中抽取一位进行第一场比赛，求正好抽到陈梦的概率；

(2)、若让孙颖莎从四名运动员中抽取两名运动员进行第一场比赛，请用树状图法或列表法，求恰好选中孙颖莎、陈梦两名运动员进行比赛的概率．

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19. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm² ，求剪掉的正方形纸片的边长．

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20. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)、OEAE（填＜、＝、＞）；

(2)、求证：四边形OEFG是矩形；

(3)、若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

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21. 定义：若一个整数能表示成a²＋b²（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝3²＋2² ，所以13是“完美数”；

再如：因为a²＋2ab＋2b²＝（a＋b）²＋b² ，所以a²＋2ab＋2b²也是“完美数”．

(1)、请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是；

(2)、判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；

(3)、已知M＝x²＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；

(4)、如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．

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22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝CD＝AE＝6．

(1)、求证：四边形AECD是菱形；

(2)、若AB＝18，F为AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，在直线AB上向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在直线CD上向左运动，设运动时间为t秒．当M，N运动时，是否存在以点M，F，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值和平行四边形的面积，若不存在，请说明理由．

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23. 综合与实践：
问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：

已知，在菱形ABCD中，BD为对角线， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，AB=4，将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为 $α$ （单位°）．旋转后的菱形为 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ．在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决．

(1)、观察证明：
如图1，若旋转角 $α < 60^{\circ}$ ， $A D^{'}$ 与BD相交于点M，AB与 $B^{'} D^{'}$ 相交于点N．请说明线段DM与 $B^{'} N$ 的数量关系；

(2)、操作计算：
如图2，连接 $C D^{'}$ ，菱形ABCD旋转的过程中，当 $B^{'} D^{'}$ 与AB互相垂直时， $C D^{'}$ 的长为；

(3)、如图3，若旋转角 $α < 60^{\circ}$ ，分别连接 $D D^{'}$ ， $B D^{'}$ ，过点A分别作 $A E ⊥ D D^{'}$ ， $A F ⊥ B D^{'}$ ，连接EF，菱形ABCD旋转的过程中，发现在 $Δ A E F$ 中存在长度不变的线段EF，请求出EF长度；

(4)、操作探究：
如图4，在（3）的条件下，请判断以 $D D^{'}$ ， $C D^{'}$ ， $B D^{'}$ 三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形，并说明理由．

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x	3.23	3.24	3.25	3.26
ax²+bx+c	﹣0.06	﹣0.02	0.03	0.09