辽宁省大连市甘井子区2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题

试卷更新日期：2021-11-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $\frac{1}{x^{2}} = 2$ B、 $x^{2} - x = 1$ C、 $2 x^{3} = 1$ D、 $x y = 5$

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2. 下列函数中，是二次函数的是（）

A、 $y = - \frac{2}{x^{2}}$ B、 $y = \frac{3}{x}$ C、 $y = x^{2} + 2 x - 1$ D、 $y = x - 2$

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3. 方程 $x^{2} = 9$ 的根为（）

A、 $x = 3$ B、 $x = - 3$ C、 $x = 0$ D、 $x = \pm 3$

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4. 已知一元二次方程 $x^{2} + k x + 3 = 0$ 有一个根为3，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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5. 抛物线 $y = 5 {(x - 4)}^{2} + 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(2 ， - 4)$ D、 $(- 4 ， 2)$

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6. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = - 6 + 4$ B、 ${(x - 2)}^{2} - 6 + 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} - 6 + 2$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 6 + 4$

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7. 方程 $(x - 2) (x + 1) = 0$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 1$ C、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$

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8. 若将抛物线 $y = x^{2}$ 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的表达式为（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$

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9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 28$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 28$ C、 $x (x + 1) = 28$ D、 $x (x - 1) = 28$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如下表：

$x$

…

-2

-1

0

1

2

…

$y$

…

-1

2

3

2

-1

…

关于此函数的图象和性质有如下判断：

①抛物线开口向下．②当 $x > 0$ 时，函数图象从左到右上升．③方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根在-2与-1之间．

其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

11. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - k = 0$ 无实数根，则k的取值范围是.

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12. $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 的两根，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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13. 二次函数 $y = - x^{2} - 2 x$ 的最大值为．

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14. 如图是一张长 $20 cm$ ，宽 $10 cm$ 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是 $144 {cm}^{2}$ 无盖长方体纸盒，那么铁皮各角应切去多大的正方形？设切去正方形的边长为 $x cm$ ，则可列方程为．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长是 $10 cm$ ， $E$ 是 $A B$ 上一点， $F$ 是 $A D$ 延长线上的一点， $B E = D F$ ．四边形 $A E G F$ 是矩形，矩形 $A E G F$ 的面积 $y ({cm}^{2})$ 与 $B E$ 的长 $x cm$ $(0 < x \leq 10)$ 的函数关系是．

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16. 如图，正方形 $O A B C$ 是边长为 $2$ 的正方形，点 $B$ 在 $y$ 轴上，点 $A$ ， $C$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ 的图象上，则 $a$ 的值为．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ ；

(2)、 $7 x^{2} - \sqrt{6} x - 5 = 0$ ．

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18. 如图，平面直角坐标系 $x o y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求顶点 $D$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 有实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、设此方程的两个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $x_{1} + x_{2} = 2 - x_{1} x_{2}$ ，求 $m$ 的值．

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20. 某型号手机原价为每台7000元，商场开展打折促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台5670元，求平均每次下调的百分率．

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21. 某商品现在的售价每件60元，每星期可卖出300；市场调查发现，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品进价为40元，如何定价，才能使利润最大？

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22. 某次数学活动时，数学兴趣小组利用学习函数图象和性质的经验，探究函数

y = - x^{2} + 2 | x | + 3

的图象和性质．

如表是该函数 $y$ 与自变量 $x$ 的几组对应值：

$x$	……	-3	-2	-1	0	1	2	3	……
$y$	……	0	$m$	4	3	$n$	3	0	……

(1)、

m

的值为，

n

的值为；

(2)、如图，在平面直角坐标系

x O y

中，画出该函数图象；

(3)、根据函数图象，写出该函数的一条性质：；

(4)、

- x^{2} + 2 | x | + 3 > 3

的解集为．

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23. （例）解方程 ${(x - 1)}^{2} - 5 (x - 1) + 4 = 0$ ．
解：设 $x - 1 = y$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ．解得 $y_{1} = 1$ ， $y_{2} = 4$ ．

当 $y = 1$ 时，即 $x - 1 = 1$ ，解得 $x = 2$ ；当 $y = 4$ 时，即 $x - 1 = 4$ ，解得 $x = 5$ ．

所以原方程的解为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 5$ ．上述解法称为“整体换元法” ．

(1)、请运用“整体换元法”解方程： ${(2 x - 5)}^{2} - (2 x - 5) - 2 = 0$ ；

(2)、已知 $x^{2} - x y - y^{2} = 0$ ．求 $\frac{x}{y}$ 的值．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + \frac{5}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ ，抛物线的对称轴 $l$ 经过顶点 $B$ ，作直线 $A B$ ． $P$ 是该抛物线上一点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $A B$ 于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥$ l于点 $N$ ，以 $P Q$ 、 $P$ N为边作矩形 $P Q M N$ ．

(1)、 $b =$ ；

(2)、当点 $P$ 在抛物线 $A$ ， $B$ 两点之间时，求线段 $P Q$ 长度的最大值；

(3)、矩形 $P Q M N$ 与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作 $G$ ， $G$ 的最高点的纵坐标为 $m$ ，最低点纵坐标为 $n$ ，当 $m - n = 2$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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$x$	…	-2	-1	0	1	2	…
$y$	…	-1	2	3	2	-1	…