安徽省合肥市蜀山区五十中西校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2021-11-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列函数中是二次函数的是（）

A、y＝x+1 B、 $y = x^{2} + \frac{2}{x}$ C、y＝ax²+bx+c D、y＝x²

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2. 二次函数 $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ 图像的顶点坐标是（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(1, - 3)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- 1, - 3)$

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3. 将二次函数y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x²的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（）

A、y＝ $- \frac{1}{2}$ x²﹣2 B、y＝ $- \frac{1}{2}$ x²+2 C、y＝ $- \frac{1}{2}$ （x+2）² D、y＝ $- \frac{1}{2}$ （x﹣2）²

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4. 如表给出了二次函数y＝x²+2x﹣5中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x²+2x﹣5＝0的一个近似解（精确到0.1）为（）

x	…	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	…
y	…	﹣1.16	﹣0.71	﹣0.24	0.25	0.76	…

A、1.3 B、1.4 C、1.5 D、1.6

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5. 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）

A、y＝2.4（1+2x） B、y＝2.4（1-x）² C、y＝2.4（1+x）² D、y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）²

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6. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x - 3$ ，下列说法中正确的是（）

A、该函数图象的开口向下 B、该函数图象的最大值是﹣7 C、当x＜0时，y随x的增大而增大 D、该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点的两侧

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7. 若函数y＝（a﹣1）x²﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（）.

A、-1 B、2 C、-1或2 D、-1或2或1

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8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax²+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知两点A(x₁ ， y₁)、B(x₂ ， y₂)均在抛物线y＝﹣ax²﹣4ax+c上（a≠0），若|x₁+2|≤|x₂+2|，并且当x取﹣1时对应的函数值大于x取0时对应的函数值，则y₁ ， y₂的大小关系是（）

A、y₁≥y₂ B、y₁≤y₂ C、y₁＞y₂ D、y₁＜y₂

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的一部分，给出下列命题：①b＝a；②a﹣3b+c＝0；③a﹣2b+c＞0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），其中正确的命题有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 抛物线y＝x²-4与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是．

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12. 如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm² ．则y关于x的函数关系式为：（化简为一般式）．

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13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t² ，无人机着陆后滑行秒才能停下来．

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14. 平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，抛物线y＝ax²+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．

(1)、请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的两点；

(2)、平移抛物线y＝ax²+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．

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三、解答题

15. 求证：抛物线y＝x²+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点．

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16. 已知二次函数 $y = - {(x - 1)}^{2} + m$ ．

(1)、请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；

x

…

﹣1

0

1

2

3

…

y

…

3

0

…

(2)、若A(﹣ $\frac{1}{2}$ ，y₁)，B(2，y₂)，C( $\sqrt{10}$ ，y₃)是该函数图象上的三点，请比较y₁ ， y₂ ， y₃之间的大小关系（直接写出结果）

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17. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，根据图象解答下列问题．

(1)、写出方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根：；

(2)、写出不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集：；

(3)、写出 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的自变量 $x$ 的取值范围；

(4)、若方程 $a x^{2} + b x + c = k$ 有两个不相等的实数根，直接写出 $k$ 的取值范围：．

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18. 如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式y＝﹣ $\frac{1}{4}$ x²+4．保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应是多少．

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19. 阅读材料：设二次函数y₁ ， y₂的图象的顶点坐标分别为（m，n），（a，b），若m＝2a，n＝2b，且开口方向相同，则称y₁是y₂的“同倍二次函数”．

(1)、请写出二次函数y＝x²-2x+3的一个“同倍二次函数”；

(2)、已知关于x的二次函数y₁＝（k-1）（x- $\frac{k}{2}$ ）²- $\frac{k}{2}$ 和二次函数y₂＝2x²-kx+1，若函数y₁恰是y₂的“同倍二次函数”，求k的值．

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20. 如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S₁＝S₂＝S₃＝ $\frac{1}{2}$ S₄（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计）．

(1)、若AE＝x，用含有x的式子表示BE的长；

(2)、求矩形ABCD的面积y关于x的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE的长．

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21. 如图、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(﹣2，4)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B、连接OA，若抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + c$ 经过点 A．

(1)、求c的值；

(2)、将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 $△$ OAB的内部（不包括 $△$ OAB的边界），直接写出m的取值范围；

(3)、若点P为抛物线上一动点，求使 $S_{△ A B P} = S_{△ A O B}$ 时点 P的坐标．

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22. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{3} \sqrt{3} x + 3$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点D为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．

(1)、求直线l的表达式；

(2)、如图，当点D在直线l上方的抛物线上时，过D点作DE//x轴交直线l于点E，设点D的横坐标为m．
①当点D运动到使得点E与点C重合时，求点D的坐标；

②求线段DE的长（用含m的代数式表示），并求出线段DE的最大值．

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23. 某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量 $m$ （单位 $/$ 件）关于时间 $t$ （单位：天）的函数关系式为： $m = - 2 t + 100$ ，这20天中，该产品每天的价格 $y$ （单位：元）与时间t（单位；天）的函效关系式为； $y = \frac{1}{4} t + 25$ （ $t$ 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：

(1)、设日销售利润为 $W$ （元），直接写出 $W$ 关于 $t$ 的函数关系式；

(2)、这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？

(3)、在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠 $a$ 元 $(a < 4)$ 给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间 $t$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围．

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