吉林省白城市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-11-11 类型：期中考试

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一、单选题（每小题5分，共8题40分）

1. 双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、(-2，0)，(2，0) B、(0，-2)，(0，2) C、(- $\sqrt{2}$ ，0)，( $\sqrt{2}$ ，0) D、(0，- $\sqrt{2}$ )，(0， $\sqrt{2}$ )

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2. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 与直线 $l$ 切于点 $P (1 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ B、 $x - \sqrt{3} y + 4 = 0$ C、 $x + \sqrt{3} y - 4 = 0$ D、 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$

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3. 把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线 $l$ 将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为（）

A、 $y = \frac{3}{5} x$ B、 $y = \frac{3}{4} x$ C、 $y = \frac{5}{4} x$ D、 $y = x$

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4. 过点（1，3）且与原点相距为1的直线共有（）.

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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5. 已知直线 $l$ 经过双曲线 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点 $F$ ，且与双曲线过第一、三象限的渐近线垂直，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $y = - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3}$ B、 $y = - \sqrt{3} x - 4 \sqrt{3}$ C、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - 4 \sqrt{3}$

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6. 已知空间四边形 $A B C D$ 的每条边和对角线的长都等于 $a$ ，点 $E ， F$ 分别是 $B C ， A D$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、 $a^{2}$ B、 $\frac{1}{2} a^{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ D、 $\frac{1}{4} a^{2}$

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7. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 上一点A到焦点F₁的距离为2，B为AF₁的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 方程 $\sqrt{1 - x^{2}}$ ＝kx＋2有唯一解，则实数k满足（）

A、k＝± $\sqrt{3}$ B、k∈(－2，2) C、k<－2或k>2 D、k<－2或k>2或k＝± $\sqrt{3}$

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二、多选题（每小题5分，共4题20分）

9. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 10 x - 10 y = 0$ 和圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 40 = 0$ 则（）

A、两圆相交 B、公共弦长为 $4 \sqrt{10}$ C、两圆相离 D、公切线长 $4 \sqrt{10}$

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10. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t}$ ＋ $\frac{y^{2}}{t - 1}$ ＝1表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为（）

A、当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B、当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线 C、若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ $\frac{5}{2}$ D、若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4

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11. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为6，焦距为10，右焦点为 $F$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线渐近线上的点到 $F$ 距离的最小值为4 B、离心率为 $\frac{5}{4}$ C、双曲线上的点到 $F$ 距离的最小值为2 D、过 $F$ 的最短的弦长为 $\frac{32}{3}$

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12. 已知点 $P$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$ 上的动点， $Q$ 是圆 $D ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{5}$ 上的动点，点 $M (\frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ 则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ B、椭圆 $C$ 中以 $M$ 为中点的弦所在直线方程为 $6 x + 24 y - 11 = 0$ C、圆 $D$ 在椭圆 $C$ 的内部 D、 $P Q$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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三、填空题（每小题5分，共4题20分）

13. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4}$ ＋ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ ＝1与双曲线 $\frac{x^{2}}{a}$ － $\frac{y^{2}}{2}$ ＝1有相同的焦点，则实数a＝.

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14. $\sqrt{2}$ x＋ $\sqrt{6}$ y＋1＝0的倾斜角是.

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15. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9}$ － $\frac{y^{2}}{16}$ ＝1的两个焦点为F₁ ， F₂ ，点P在双曲线上，若 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}}$ ＝0，则点P到x轴的距离为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过坐标原点 $O$ 且与双曲线 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ．若 $| M N | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 的面积为．

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四、解答题（共6题70分）

17. 求经过两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

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18. 已知圆C过平面内三点 $A (0 ， 4)$ 、 $D (2 ， 2 \sqrt{5})$ 、 $E (2 ， - 2 \sqrt{5})$ ，

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若点B也在圆C上，且弦 $A B$ 长为8，求直线 $A B$ 的方程；

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19. 如图1所示，在等腰梯形ABCD中， $B E ⊥ A D$ ， $B C = 1$ ， $A D = 5$ ， $B E = \sqrt{3}$ ，把 $△ A B E$ 沿BE折起，使得 $A C = 2 \sqrt{2}$ ，得到四棱锥 $A - B C D E$ .如图2所示.

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A E D$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x²＋5y²＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝ $\frac{1}{2}$ sinC.

(1)、求线段AB的长度；

(2)、求顶点C的轨迹方程．

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21.

(1)、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆上一点，求 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ 的最大值；

(2)、已知 $A (1 ， 1)$ ， $F_{1}$ 是椭圆 $5 x^{2} + 9 y^{2} = 45$ 的左焦点，点 $P$ 是椭圆上的动点，求 $| P A | + | P F_{1} |$ 的最大值和最小值．

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22. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ＝ 1$ $（ a > b > 0 ）$ 的左、右焦点，椭圆上任意一点 $P$ 到焦点距离的最小值与最大值之比为 $\frac{1}{3}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于长轴的椭圆 $C$ 的弦长为 $3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线与椭圆 $C$ 相交的交点 $A$ 、 $B$ 与右焦点 $F_{2}$ 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．

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