浙教版数学八上第4章图形与坐标优生综合题特训

试卷更新日期：2021-11-10 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 随着科学技术的发展，物流快递已经可以由机器人派送了。机器人能按照设计的指令完成各种动作.在坐标平面上，根据指令{s，a}（s≥0， $0^{\circ} < a < 180^{\circ}$ ）机器人能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度a，再朝其对面方向沿直线行走距离s.

(1)、填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是（无需过程）；

(2)、机器人在完成上述指令后，发现在P（ $2 \sqrt{3} + 2 ， 0$ ）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能刚好截住小球.[第二小题写解题过程]

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2. 在边长为1的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移 $| a |$ 格（当 $a$ 为正数时，表示向右平移．当 $a$ 为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移 $| b |$ 格（当 $b$ 为正数时，表示向上平移．当 $b$ 为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为 $(a ， b)$ ．例如，从 $A$ 到 $B$ 记为： $A \to B (+ 1 ， + 3)$ ．从 $C$ 到 $D$ 记为： $C \to D (+ 1 ， - 2)$ ，回答下列问题：

(1)、如图1，若点 $A$ 的运动路线为： $A \to B \to C \to A$ ，请计算点 $A$ 运动过的总路程．

(2)、若点 $A$ 运动的路线依次为： $A \to M (+ 2 ， + 3)$ ， $M \to N (+ 1 ， - 1)$ ， $N \to P (- 2 ， + 2)$ ， $P \to Q (+ 4 ， - 4)$ ．请你依次在图2上标出点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 、 $Q$ 的位置．

(3)、在图 $2$ 中，若点 $A$ 经过 $(m ， n)$ 得到点 $E$ ，点 $E$ 再经过 $(p ， q)$ 后得到 $Q$ ，则 $m$ 与 $p$ 满足的数量关系是． $n$ 与 $q$ 满足的数量关系是．

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3. 勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦。我国西汉《周髀算经》中周公与商高对话中涉及勾股定理，所以这个定理也有人称商高定理，勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。
我们知道，可以用一个数表示数轴上的一个点，而每个数在数轴上也有一个点与之对应。现在把这个数轴叫做x轴，同时，增加一个垂直于x轴的数轴，叫做y轴，如下图。这样，我们可以用一组数对来表示平面上的一个点，同时，平面上的一个点也可以用一组数对来表示，比如下图中A点的位置可以表示为（2，3），而数对（2，3）所对应的点即为A。若平面上的点M $(x_{1} ， y_{1})$ ，N $(x_{2} ， y_{2})$ ，我们定义点M、N在x轴方向上的距离为： $| x_{1} - x_{2} |$ ，点M、N在y轴方向上的距离为： $| y_{1} - y_{2} |$ 。例如，点G（3，4）与点H（1，-1）在x轴方向上的距离为：|3-1|=2，点M、N在y轴方向上的距离为：|4-（-1）|=5。

(1)、若点B位置为（-1，-1），请在图中画出点B；图中点C的位置用数对来表示。

(2)、在（1）条件下，A、B两点在x轴方向上的距离为，在y轴方向上的距离为， A、B两点间的距离为；若E点、F点的位置分别为（a，b）、（c，d），点E、F之间的距离为|EF|，则 $| E F |^{2}$ =。

(3)、有一个点D，它与（0，0）点的距离为1，请画出D点所有可能的位置。

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4. 在平面直角坐标系中，设坐标轴的单位长度为1cm，整数点P从原点O出发，速度为1cm/s，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题：

(1)、填表：
P从O点出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
（0，1），（1，0）
2
2秒
3秒

(2)、当点P从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是个。

(3)、当点P从点O出发秒时，可得到整数点（10，5）。

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5. 如图，直线y=2x-1与x轴、y轴分别交于B、C两点

(1)、求点B的坐标；

(2)、点A(x，y)是直线y= 2x-1上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

(3)、探究：①当点A的坐标是多少时，△AOB的面积为 $\frac{1}{4}$ ，并说明理由；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的三个P点坐标即可；若不存在，请说明理由。

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6. 在平面直角坐标系xOy中，将一个图形中的每一个点的横、纵坐标都乘以n（n＞0，且n≠1），会得到一个新的图形，我们把这个新的图形称为原图形经过“n倍变换”得到的图形.

(1)、若A（﹣2，1），B（1，1），将线段AB经过“3倍变换”得到线段A₁B₁ ，求线段A₁B₁的长；

(2)、将一个正方形（各点不在坐标轴上）经过“n倍变换”得到另一个四边形，所得四边形的形状仍然是正方形吗？请举一个例子并画出相应的示意图加以说明；

(3)、根据（2）中你的发现，试探究以下问题：
四边形DEFG的四个顶点的坐标分别为：D（1，2），E（3，2），F（3，4），G（1，4）.将四边形DEFG经过“n倍变换”得到四边形D₁E₁F₁G₁.当两个四边形重叠部分的面积大于0时，直接写出n的取值范围.

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7. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (3 ， 5)$ ， $B (7 ， 5)$ ，连接 $A B$ ，将 $A B$ 向下平移6个单位得线段 $C D$ ，其中点 $A$ 的对应点为点 $C$ ．

(1)、填空：点 $D$ 的坐标为，线段 $A B$ 平移到 $C D$ 扫过的面积为．

(2)、若点 $P$ 是 $y$ 轴上的动点，连接 $P D$ ．
①如图，当点 $P$ 在 $y$ 轴正半轴时，线段 $P D$ 与线段 $A C$ 相交于点 $E$ ，用等式表示三角形 $P E C$ 的面积与三角形 $E C D$ 的面积之间的关系，并说明理由．

②当 $P D$ 将四边形 $A C D B$ 的面积分成1∶3两部分时，求点 $P$ 的坐标．

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，A（4，0），C（0，6），点B在第一象限内，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着长方形 $O A B C$ 的边逆时针移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动）．

(1)、点B的坐标为；

(2)、当点P移动4s时，求出点P的坐标；

(3)、在移动过程中，当点P到 $x$ 轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间t ．

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9. 在平面直角坐标系xOy中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段AB给出如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q落在线段AB上，则称点P为线段AB的内垂点．若垂足Q满足|AQ-BQ|最小，则称点P为线段AB的最佳内垂点．已知点A（﹣2，1），B（1，1），C（﹣4，3）．

(1)、在点P₁（2，3）、P₂（﹣5，0）、P₃（﹣1，﹣2），P₄（﹣ $\frac{1}{2}$ ，4）中，线段AB的内垂点为；

(2)、点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2，则点M的坐标为；

(3)、点N在y轴上且为线段AC的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是；

(4)、已知点D（m，0），E（m+4，0），F（2m，3）．若线段CF上存在线段DE的最佳内垂点，求m的取值范围．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB=CD=4cm，OA=5cm，DE=2cm，动点P从点A出发，以每秒1 cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点2从点o出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动。若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止。

(1)、直接写出B，C，D三个点的坐标；

(2)、设两点运动的时间为1秒，用含t的式子表示运动过程中三角形OPQ的面积；

(3)、当三角形OPQ的面积的范围小于16时，求运动的时间t的范围。

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11. 综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，点 $O$ ， $A$ 的坐标分别为 $(0 ， 0)$ ， $(0 ， 2)$ ，将线段 $O A$ 沿 $x$ 轴方向向右平移，得到线段 $C B$ ，点 $O$ 的对应点 $C$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，连接 $A B$ ．点 $P$ 是 $y$ 轴上一动点．

(1)、请你直接写出点 $B$ 的坐标．

(2)、如图1，当点 $P$ 在线段 $O A$ 上时（不与点 $O$ 、 $A$ 重合），分别连接 $B P$ ， $C P$ ．猜想 $∠ B P C$ ， $∠ A B P$ ， $∠ O C P$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、①如图2，当点 $P$ 在点 $A$ 上方时，猜想 $∠ B P C$ ， $∠ A B P$ ， $∠ O C P$ 之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，当点 $P$ 在 $y$ 轴的负半轴上时，请你直接写出 $∠ B P C$ ， $∠ A B P$ ， $∠ O C P$ 之间的数量关系．

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组： $A (- 3 ， 3)$ 、 $C (4 ， 3)$ ；

第二组： $D (- 2 ， - 1)$ 、 $E (2 ， - 1)$ ．

(1)、直接写出线段 $A C$ 与线段 $D E$ 的位置关系；

(2)、在（1）的条件下，线段 $A C$ ， $D E$ 分别与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $F$ ．若点 $M$ 为射线 $O B$ 上一动点（不与点 $O$ ， $B$ 重合）．
①当点 $M$ 在线段 $O B$ 上运动时，连接 $A M$ 、 $D M$ ，补全图形，用等式表示 $∠ C A M$ 、 $∠ A M D$ 、 $∠ M D E$ 之间的数量关系，并证明．

②当 $△ A C M$ 与 $△ D E M$ 面积相等时，求点 $M$ 的坐标．

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13. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知：A(3，2)， B(3，4)，C(-4，-2)，D(2，-2)．

(1)、点A与点B是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？

(2)、点C与点D是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？

(3)、已知点M(-1，-3)，写出它关于x=2对称的对称点N的坐标和它关于直线y=1对称的对称点Q的坐标．

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）

(1)、写出点B的坐标；

(2)、点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP．

(3)、当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论；

(4)、点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (a ， 0) ， B (b ， 0)$ ，其中a，b满足 $| a + 1 | + {(b - 3)}^{2} = 0$

(1)、填空：a= ， b=；

(2)、如果在第三象限内有一点C（-2，m），请用含m的式子表示△ABC的面积；

(3)、在⑵条件下，当 $m = - \frac{3}{2}$ 时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．

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16. 若 A（0， a），B（b， 0 ），且a，b 满足a²﹣2ab+b²＝﹣4+4a﹣a².

(1)、则A的坐标是；B的坐标是；

(2)、如图1，点D在线段AO上运动（不与点 O、A 重合），以BD为腰向下作等腰直角 $△$ BDE，∠DBE＝90°，连接AE交OB于M，求AD和OM的数量关系；

(3)、若点 C 在 y 轴上运动（O 点除外）， $△$ CBD 等腰直角三角形（C、B、D顺时针排列），CB＝CD，∠DCB＝90°，连接AD，取AO中点T，连接TO，TC，补充图形，求TO 与TC的数量关系.

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17. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 $(a ， 0)$ ， $(0 ， b)$ ，其中a，b满足 $\sqrt{a - 2 b - 18} + | 2 a - 5 b - 30 | = 0$ .将点B向右平移26个单位长度得到点C，如图①所示.

(1)、求点A，B，C的坐标；

(2)、点M，N分别为线段 $B C$ ， $O A$ 上的两个动点，点M从点C向左以1.5个单位长度/秒运动，同时点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，如图②所示，设运动时间为t秒（ $0 < t < 15$ ）.
①当 $C M < A N$ 时，求t的取值范围；

②是否存在一段时间，使得 $S_{四边形 M N O B} > 2 S_{四边形 M N A C}$ ？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由.

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18. 在如图所示的平面直角坐标系中，A（1，3），B（3，1），将线段AB平移至CD，C（m，-1），D（1，n）

(1)、m= ， n=

(2)、点P的坐标是（c，0）
①设∠ABP= $α$ ，请写出∠BPD和∠PDC之间的数量关系（用含 $α$ 的式子表示，若有多种数量关系，选择一种加以说明）

②当三角形PAB的面积不小于3且不大于10，求点p的横坐标C的取值范围（直接写出答案即可）

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19. 对于平面直角坐标系中的图形 $M$ 上的任意点 $P (x ， y)$ ，给出如下定义：将点 $P (x ， y)$
平移到 $P^{'} (x + a ， y - a)$ 称为将点 $P$ 进行“ $a$ 型平移”，点 $P^{'}$ 称为将点 $P$ 进行“ $a$ 型平移”的对应点；将图形 $M$ 上的所有点进行“ $a$ 型平移”称为将图形 $M$ 进行“ $a$ 型平移”.例如，将点 $P (x ， y)$ 平移 $P^{'} (x + 1 ， y - 1)$ 称为将点 $P$ 进行“ $1$ 型平移”，将点 $Q (x ， y)$ 平移到 $Q^{'} (x - 1 ， y + 1)$ 称为将点 $Q$ 进行“ $- 1$ 型平移”.已知点 $A (- 1 ， 4)$ ， $B (2 ， 3)$ .

(1)、画出线段 $A B$ 进行“ $2$ 型平移”后的对应线段 $A^{'} B^{'}$ ，并直接写出 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 的坐标；

(2)、四边形 $A B B^{'} A^{'}$ 的面积为（平方单位）；

(3)、将线段 $A B$ 进行“ $a$ 型平移”后与 $x$ 轴有公共点，直接写出 $a$ 的取值范围；

(4)、将四边形 $A B B^{'} A^{'}$ 进行“ $a$ 型平移”后与坐标轴有公共点，请直接写出 $a$ 的取值范围是.

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20. 如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格点上，其中 $C$ 点坐标为 $(1 ， 2)$ .

(1)、写出点 $A$ ， $B$ 的坐标： $A$ （，）， $B$ （，）

(2)、将 $△ A B C$ 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的三个顶点坐标分别是 $A^{'}$ （，）， $B^{'}$ （，）， $C^{'}$ （，）

(3)、平移 $△ A B C$ 到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A$ 点的对应点 $A_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $B$ 点对应点 $B_{1} (x_{2} ， y_{2})$ ，且 $y_{1} = 2 x_{1} + 2$ ， $y_{2} = x_{2} - 8$ ，请直接写出 $C_{1}$ 的坐标.

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21. 如图1，在平面直角坐标系中，OA=2，OB=3，现同时将点A ， B 向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A ， B的对应点C ， D ，连接AC ， BD ， CD ．

（温馨提示：三角形的面积= $\frac{1}{2}$ ×底×高）．

(1)、写出点A ， B ， C ， D的坐标；

(2)、在线段CO上是否存在一点P ，使得三角形PCD和三角形POB的面积相等？如果有，试求出点P的坐标；如果没有，请说明理由；

(3)、如图2，若点Q在线段CD上移动（不与C ， D点重合），直线QO与线段AB ， CD所成的角分别为∠1、∠2，试探究∠1与∠2的数量关系，并说明理由．

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22. 如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c）， $\sqrt{a + 4} + | 2 - b | = 0$ ， $c = \frac{1}{2} (a - b)$ .

(1)、求△ABC的面积；

(2)、如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q' 在同一直线上，求 m的值；

(3)、如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足 ${(3 x^{a} y^{b + 5})}^{2} = 9 x^{6} y^{4}$ .

(1)、直接写出 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、连接AB，P为 $△ A O B$ 内一点， $O P ⊥ B P$ .
①如图1，过点 $O$ 作 $O C ⊥ O P$ ，且 $O P = O C$ ，连接 $C P$ 并延长，交 $A B$ 于 $D$ .求证： $A D = B D$ ；

②如图2，在 $P O$ 的延长线上取点 $M$ ，连接 $B M$ .若 $∠ M B O = ∠ A B P$ ，点P（2n，−n），试求点 $M$ 的坐标.

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