浙教版数学八上第3章一元一次不等式优生综合题特训-在线组卷题库

1. 阅读材料：基本不等式

\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} (a > 0 ， b > 0)

，当且仅当

a = b

时，等号成立.其中我们把

\frac{a + b}{2}

叫做正数a、b的算术平均数，

\sqrt{a b}

叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大

(

小

)

值问题的有力工具.

例如：在 $x > 0$ 的条件下，当x为何值时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少？

解 $∵ x > 0$ ， $\frac{1}{x} > 0$

$∴ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，即是 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$

$∴ x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，

当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 时，即 $x = 1$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

(1)、若

x > 0

，函数

y = 2 x + \frac{1}{x}

，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，

(2)、当

x > 0

时，式子

x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 2

成立吗？请说明理由.

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2. 阅读材料：

基本不等式 $\sqrt{a b}$ ≤ $\frac{a + b}{2}$ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.

例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+ $\frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少？

解：∵x＞0， $\frac{1}{x}$ ＞0∴ $\frac{x + \frac{1}{x}}{2}$ ≥ $\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，即 $x + \frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，∴ $x + \frac{1}{x}$ ≥2

当且仅当x＝ $\frac{1}{x}$ ，即x＝1时，x+ $\frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

(1)、已知x＞0，则当x为时，代数式3x+

\frac{3}{x}

的最小值为；

(2)、已知a＞0，b＞0，a²+b²=7，则ab的最大值为

(3)、已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值.

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3. 已知

(a + 1) (b + 2) ⩾ (a + 1) (c + 1)

，其中a，b，c是常数，且

c \neq 1

.

(1)、当

b = - 2, c = 3

时，求a的范围.

(2)、当

a < - 2

时，比较b和c的大小.

(3)、若当

a > - 1

时，

b ⩽ c - 1

成立，则

\frac{b}{c - 1}

的值是多少？

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4. 阅读理解：我们知道，比较两数（式）大小有很多方法，“作差法”是常用的方法之一，其原理是不等式（或等式）的性质：若

a - b > 0

，则

a > b

；若

a - b = 0

，则

a = b

；若

a - b < 0

，则

a < b

.

例：已知 $A = x^{2} + 2 x y$ ， $B = 4 x y - y^{2}$ ，其中 $x \neq y$ ，求证： $A > B$ .

证明： $A - B = (x^{2} + 2 x y) - (4 x y - y^{2}) = x^{2} + 2 x y - 4 x y + y^{2}$ $= x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x - y)}^{2}$ .

∵ $x \neq y$ ，∴ ${(x - y)}^{2} > 0$ ，∴ $A > B$ .

(1)、操作感知：比较大小：

①若 $a < b < 0$ ，则 $a^{3}$ $a b^{2}$ ；

② $m^{2} + 16$ $8 m$ .

(2)、类比探究：已知

M = 2016 \times 2019

，

N = 2017 \times 2018

，试运用上述方法比较

M

、

N

的大小，并说明理由.

(3)、应用拓展：已知

P (m ， m - 4)

，

Q (m ， m^{2} + 3 m)

为平面直角坐标系中的两点，小明认为，无论

m

取何值，点

Q

始终在点

P

的上方，小明的猜想对吗？为什么？

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5.

把多边形的某些边向两方延长，其他各边若不全在延长所得直线的同侧，则把这样的多边形叫做凹多边形.如图①五边形 $A B C D E$ 中，作直线 $D E$ ，则边 $A B$ 、 $C D$ 分别在直线 $D E$ 的两侧，所以五边形 $A B C D E$ 就是一个凹五边形.我们简单研究凹多边形的边和角的性质.

(1)、如图②，在凹六边形

A B C D E F

中，探索

∠ B C D

与

∠ A

、

∠ B

、

∠ D

、

∠ E

、

∠ F

、之间的关系；

(2)、如图③，在凹四边形

A B C D

中，证明

A B + A D > B C + C D

．

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6. 阅读下面的文字，解答问题．

大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜ $\sqrt{2}$ ＜2，所以 $\sqrt{2}$ 的整数部分为1，将 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分1，差就是小数部分 $\sqrt{2}$ ﹣1，根据以上的内容，解答下面的问题：

(1)、

\sqrt{5}

的整数部分是，小数部分是；

(2)、1+

\sqrt{2}

的整数部分是，小数部分是；

(3)、若设2+

\sqrt{3}

整数部分是x，小数部分是y，求x﹣

\sqrt{3}

y的值．

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7. 设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。

(1)、该函数的图象过点（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。

(2)、已知点A（a，y₁）和点B（a-2，y₁+2）都在该一次函数的图象上，求k的值。

(3)、若k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，求证：k＞

\frac{3}{4}

。

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8. 班级书法小组购买“文房四宝”的数据如下，有部分数据因污损无法识别.

商品名	单价（元）	数量（件）	金额（元）
笔	20
墨		15	210
纸	24
砚	60	2
合计		43	922

(1)、此次购买的笔和纸各多少件？

(2)、若再次购买墨和砚共10件，且总价不超过370元，最多购买砚多少件？

(3)、若用420元购买墨和纸，在420元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？

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9. 某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元.由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存.经市场调查获得以下信息：

①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；

②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；

③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；

④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元.

(1)、加工厂购进A、B两种原料各多少吨？

(2)、由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务.加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由.

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10. 定义：对任意一个两位数

a

，如果

a

满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”.将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为

f (a)

.

例如： $a = 12$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 $21 + 12 = 33$ ，和与11的商为 $33 \div 11 = 3$ ，所以 $f (12) = 3$ .根据以上定义，回答下列问题：

(1)、填空：

①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为；

②计算： $f (32) =$ .

(2)、如果一个“迥异数”

b

的十位数字是

k

，个位数字是

2 (k + 1)

，且

f (b) = 11

，请求出“迥异数”

b

.

(3)、如果一个“迥异数”

c

，满足

c - 5 f (c) > 35

，请求出满足条件的

c

的值.

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11. 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费.设小华在同一商场累计购物x元，其中x＞200.

小华累计购物（单位：元）	250	390	…	x
甲商场实际收费（单位：元）	240	a	…	m
乙商场实际收费（单位：元）	235	b	…	n

(1)、根据题意及表中提供的信息填空：a= ， b=；m= ， n=；

(2)、当x取何值时，甲、乙两商场的实际收费相同？

(3)、当小华在同一商场累计购物超过200元时，哪家商场的实际收费少，为什么？

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12. 阅读材料：基本不等式

\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} (a > 0 ， b > 0)

当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把

\frac{a + b}{2}

叫做正数a，b的算术平均数，

\sqrt{a b}

叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，

x + \frac{1}{x}

有最小值？最小值是多少？

解：∵x＞0， $\frac{1}{x} > 0$ ，∴ $\frac{x + \frac{1}{x}}{2}$ ≥2 $\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，∴ $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，当且仅当 $x ＝ \frac{1}{x}$ 时，即x=1时，有 $x + \frac{1}{x}$ 有最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

(1)、填空：当

x

>0时，设

y = x + \frac{4}{x}

，则当且仅当

x

=时，y有最值为；

(2)、若

x

＞0，函数

y = 2 x + \frac{1}{x}

，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值；

(3)、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值.

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13. 居家学习期间，小明坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，其中做了20个波比跳，40个深蹲，共消耗热量132大卡（大卡是热量单位）；完成第二组运动，其中做了20个波比跳，70个深蹲，共消耗热量156大卡；（每个动作之间的衔接时间忽略不计）．

(1)、每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？

(2)、若小明想只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，小明至少要做多少个波比跳？

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14. 阅读下面材料：

小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：

如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式 $| x | > 3$ 的解集．

小明同学的思路如下：

先根据绝对值的定义，求出 $| x |$ 恰好是 $3$ 时 $x$ 的值，并在数轴上表示为点 $A ， B$ ，如图所示．观察数轴发现，以点 $A ， B$ 为分界点把数轴分为三部分：

点 $A$ 左边的点表示的数的绝对值大于 $3$ ；

点 $A ， B$ 之间的点表示的数的绝对值小于 $3$ ；

点 $B$ 右边的点表示的数的绝对值大于 $3$ ．

因此，小明得出结论绝对值不等式 $| x | > 3$ 的解集为： $x < - 3$ 或 $x > 3$ ．

参照小明的思路，解决下列问题：

(1)、请你直接写出下列绝对值不等式的解集．

① $| x | > 2$ 的解集是．

② $| x | < 5$ 的解集是．

(2)、求绝对值不等式

2 | x - 2.5 | + 4 < 6

的解集．

(3)、如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于

x

的不等式组

{\begin{matrix} x < 2 x - m \\ x - 2 \leq m \end{matrix}

的解，求

m

的取值范围．

(4)、直接写出不等式

x^{2} > 16

的解集是．

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15. 某经销商去年

12

月份用

9000

元购进一批某种儿童玩具，并在当月售完，今年

1

月份用

20000

元购进相同的玩具，数量是去年

12

月份的

2

倍，每个进价涨了

5

元．

(1)、今年

1

月份购进这批玩具多少个？

(2)、今年

1

月份，经销商将这批玩具平均分给甲、乙两家分店销售，每个标价

80

元．甲店按标价卖出a个以后，剩余的按标价的八折全部售出；乙店同样按标价卖出b个，剩余的按标价的七五折全部售出，结果利润与甲店相同．

①用含a的式子表示b；

②若甲、乙两家分店按打折售出的数量不超过乙店按标价售出的数量，则甲店按标价至少售出了多少个这种玩具？

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16. 军运会前某项工程要求限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期4天，现两队合作3天后，余下的工程再由乙队独做，比限期提前一天完成.

(1)、请问该工程限期是多少天？

(2)、已知甲队每天的施工费用为1000元，乙队每天的施工费用为800元，要使该项工程的总费用不超过7000元，乙队最多施工多少天？

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17. 深化理解：

新定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为 $〈 x 〉$ ，

即：当n为非负整数时，如果 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2} ，则 〈 x 〉 = n$ ；

反之，当n为非负整数时，如果 $〈 x 〉 = n ，则 n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2} .$

例如：<0> = <0.48> = 0，<0.64> = <1.49> = 1，<2> = 2，<3.5> = <4.12> = 4，……

试解决下列问题：

(1)、填空：①

=（

为圆周率）； ②如果

〈 x - 1 〉 = 3 ， 则 实 数 x

的取值范围为.

(2)、若关于x的不等式组

{\begin{matrix} \frac{2 x - 4}{3} \leq x - 1 \\ 〈 a 〉 - x > 0 \end{matrix}

的整数解恰有3个，求a的取值范围.

(3)、求满足

〈 x 〉 = \frac{4}{3} x

的所有非负实数x的值.

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18. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．

(1)、肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？

(2)、由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？

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19. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.

(1)、该商场两次共购进这种运动服多少套？

(2)、如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于

20 %

，那么每套

售价至少是多少元？

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20. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身

24

个，或制盒底

32

个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有

40

张白铁皮.

(1)、问用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套；

(2)、已知一张白铁皮的成本为

120

元，每张制作盒底的加工费为

30

元

/

张，而制作盒身的加工方式有横切和纵切两种，横切的加工费为

20

元

/

张，纵切的加工费为

25

元

/

张，受工艺限制，白铁皮横切的张数不超过纵切的

\frac{2}{5}

，问在（1）结论下，应安排多少张横切多少张纵切才能使总费用最少，此时最少费用是多少.

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21. 现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地.已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨.

(1)、装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？

(2)、使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？

(3)、在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元.每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n.且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案.

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22. 红星商场购进A，B两种型号空调，A型空调每台进价为m元，B型空调每台进价为n元，5月份购进5台A型空调和7台B型空调共43000元；6月份购进7台A型空调和6台B型空调共45000元.

(1)、求m，n的值；

(2)、7月份该商场计划购进这两种型号空调共78000元，其中B型空调的数量不少于12台，试问有哪几种进货方案？

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23. 某商场计划采购

A

、

B

两种商品共

200

件，已知购进

60

件A商品和

30

件

B

商品需要

1500

元，购进

40

件

A

商品和

10

件

B

商品需要

800

元.

(1)、求

A

、

B

两种商品每件的进价分别为多少元？

(2)、若采购费用不低于

3400

元，不高于

3500

元，请求出该商场有几种采购方案？

(3)、在（2）的条件下，

A

商品每件加价

2 a

元销售，

B

商品每件加价

3 a

元销售，

200

件商品全部售出的最大利润为

1500

元，请直接写出

a

的值.

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浙教版数学八上第3章 一元一次不等式优生综合题特训

一、综合题

浙教版数学八上第3章一元一次不等式优生综合题特训