浙教版数学八上第2章特殊三角形优生综合题特训

试卷更新日期：2021-11-10 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

(1)、实验与探究：
由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；

(2)、归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；

(3)、运用与发现：
已知两点D(1，-3)、E(-1，-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小.

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E在边 $A D$ 上（不与端点A，D重合），点A关于直线 $B E$ 的对称点为点F，连接 $C F$ ，设 $∠ A B E = α$ .

(1)、求 $∠ B C F$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、过点C作 $C G ⊥ A F$ ，垂足为G，连接 $D G$ .判断 $D G$ 与 $C F$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B H$ ，点E的对应点为点H，连接 $B F$ ， $H F$ .当 $△ B F H$ 为等腰三角形时，求 $\sin α$ 的值.

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3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B=50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E.

(1)、当∠BDA＝100°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；

(2)、当DC＝AB时，△ABD和△DCE是否全等？请说明理由；

(3)、在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数，若不存在，请说明理由.

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4. 如图1， $R t △ A B C$ 中， $A C ⊥ C B$ ， $A C = 15$ ， $A B = 25$ ，点D为斜边上动点.

(1)、如图2，过点D作 $D E ⊥ A B$ 交CB于点E，连接AE，当AE平分 $∠ C A B$ 时，求CE；

(2)、如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若 $△ A C D$ 为等腰三角形，直接写出AD的值.

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5. 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.

(1)、若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.

(2)、用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.

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6. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．

(1)、若∠C=36° ，求∠BAD的度数；

(2)、求证：FB=FE．

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7. 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D，G分别是AB，BC上的点，连接GD，且GD＝GB.以点D为顶点作等边△DEF，使点E，F分别在AC，GC上.

(1)、求∠DGF的大小；

(2)、求证：△FDG≌△EFC；

(3)、如图2，当DE//BC时，若△DEF的面积为2，请直接写出△ABC的面积.

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8. 如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt△DCE

(1)、当α＝15°，则∠ACE＝°；

(2)、如图2，过点C作CM⊥BF于M ，作CN⊥EF于N，证明：CF平分∠BFE

(3)、求Rt△ABC绕C点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG为等腰三角形

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9. 如图1，点P为等腰Rt△ABC斜边AB下侧一个动点，连AP、BP，且∠APB＝45°，过C作CE⊥AP于点E，AB＝12.

(1)、若∠ACE＝15°，求△ABP的面积；

(2)、求 $\frac{C E}{A P}$ 的值；

(3)、如图2，当△APC为等腰三角形时，则其面积为.

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10. 在 $△ A B C$ 中，若最大内角是最小内角的 $n$ 倍（ $n$ 为大于1的整数），则称 $△ A B C$ 为 $n$ 倍角三角形.例如：在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 20 °$ ， $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 120 °$ ，则称 $△ A B C$ 为6倍角三角形.

(1)、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 为倍角三角形；

(2)、若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；

(3)、如图，点 $E$ 在 $D F$ 上， $B E$ 交 $A D$ 于点 $C$ ， $A B = A D$ ， $∠ B A D = ∠ E A F$ ， $∠ B = ∠ D = 25 °$ ， $∠ F = 75 °$ .找出图中所有的 $n$ 倍角三角形，并写出它是几倍角三角形.

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11. 如图，已知 $∠ B A D = ∠ C A E = 90 ° ， A B = A D ， A E = A C$ .

(1)、 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 全等吗？请说明理由；

(2)、若 $A F ⊥ C B$ ，垂足为F，请说明线段 $2 C F = C E$ ；

(3)、在（2）的基础上，猜想线段 $B F ， D E ， C D$ 存在的数量关系，并直接写出结论.

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12. 阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？

分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B.

感悟与应用：

(1)、如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，
①求证：∠B+∠D=180°；

②求AB的长.

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13. 问题探究

(1)、如图①，已知 $∠ A = 45 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $∠ A D C = 40 °$ ，则 $∠ B C D$ 的大小为；

(2)、如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，对角线 $B D = 6$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积；小明这样来计算，延长 $D C$ ，使得 $C E = A D$ ，连接 $B E$ ，通过证明 $Δ A B D ≅ Δ C B E$ ，从而可以计算四边形 $A B C D$ 的面积，请你将小明的方法完善，并计算四边形 $A B C D$ 的面积；

(3)、如图③，四边形 $A B C D$ 是正在建设的城市花园，其中 $A B = B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ ， $D C = 40$ 米， $A D = 30$ 米，请计算出对角线 $B D$ 的长度.

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14. 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.

(1)、（探究发现）
如图①，若∠BAD＝ $120 °$ ，∠ABC＝∠ADC＝ $90 °$ .求证：AD＋AB＝AC；

(2)、（拓展迁移）
如图②，若∠BAD＝ $120 °$ ，∠ABC＋∠ADC＝ $180 °$ .

①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；

②若AC＝10，求四边形ABCD的面积.

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15. 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

(1)、如图1，四边形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在网格格点上，请你在 $5 \times 7$ 的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形 $A B C D$ ，要求顶点 $D$ 在网格格点上.

(2)、如图2， $A D ⊥ D C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，求证：四边形 $A B C D$ 为“等邻边四边形”.

(3)、如图3，在（2）的条件下， $∠ A B C = 60 °$ ， $C D = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $M$ 是 $B D$ 边上一点，当四边形 $C E M D$ 是“等邻边四边形”时，求 $B M$ 的长.

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16. 将一副直角三角尺按如图方式叠放， $B C$ 与 $A E$ 交于 $F$ 点， $∠ E = ∠ B A C = 90 °$ ， $∠ D = ∠ D A E = 45 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、如图1，点 $B$ 在 $A D$ 上，过点 $F$ 作直线 $l // A D$ ，求 $∠ A F C$ 的度数；

(2)、图中含 $45 °$ 的三角尺 $A D E$ 固定不动，将含 $30 °$ 三角尺 $A B C$ 绕顶点 $A$ 顺时针转动.
①如图2，当 $B C // D E$ 时，求 $∠ B A D$ 的度数；

②若将含 $30 °$ 的三角尺 $A B C$ 绕顶点 $A$ 顺时针继续转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的 $∠ B A D$ （ $0 ° < ∠ B A D < 180 °$ ）的度数为 °.

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17. 如图，铁路上A、B两点相距 $25 km$ ，C、D为两村庄，若 $D A = 10 km$ ， $C B = 15 km$ ， $D A ⊥ A B$ 于A， $C B ⊥ A B$ 于B，现要在 $A B$ 上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.

(1)、求E应建在距A多远处？

(2)、 $D E$ 和 $E C$ 垂直吗？试说明理由.

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18. 如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN．

(1)、如图1，求证：CN＝BM；

(2)、如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN²＋BM²＝AB²；

(3)、如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．

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19. 如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E ，过点E作EF⊥AB ，垂足为F ，且∠AEF＝50°，连接DE ．

(1)、求∠CAD的度数；

(2)、求证：DE平分∠ADC；

(3)、若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S_△_ACD＝15，求△ABE的面积．

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20. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 10 ， B C = 6$ ，若点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $A - C - B - A$ 运动，设运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ .

(1)、若点 $P$ 在 $A C$ 上，且满足 $P A = P B$ 时，求此时 $t$ 的值；

(2)、若点 $P$ 恰好在 $∠ B A C$ 的平分线上，求 $t$ 的值.

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21. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD ，交BC于点E ，且AB=AE ，延长AB与DE的延长线交于点F ．下列结论中：

求证：

(1)、△ABE是等边三角形；

(2)、△ABC≌△EAD；

(3)、 $S_{△ A B E} = S_{△ C E F}$ ．

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22. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为6²+8²＝4×5²＝100，所以这个三角形是常态三角形．

(1)、若 $△ A B C$ 三边长分别是2， $\sqrt{5}$ 和4，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；

(2)、若 $R t △ A B C$ 是常态三角形，则此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；

(3)、如图， $R t △ A B C$ 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AD=DB=DC，若 $△ B C D$ 是常态三角形，求 $△ A B C$ 的面积．

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23. 如图，Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=4 $\sqrt{3}$ cm，∠ABC=30°。点P从点B出发，沿B→A→C以每秒3cm的速度向终点C运动，同时点Q从点B出发以每秒、3cm的速度向终点C运动，其中一点到达终点即停止．设点P的运动时间为t。

(1)、当t=2秒时，求△BPQ的面积；

(2)、PQ能否与△ABC的一条边平行，如果能，求出此时t的值；如不能，说明理由；

(3)、△BPQ的面积能否为△ABC面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由。

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24. 如图(1)，已知△ABC中， ∠BAC=90⁰ ， AB=AC， AE是过A的一条直线，且B.C在A.E的异侧， BD⊥AE于D， CE⊥AE于E

(1)、试说明：BD=DE+CE.

(2)、若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，请直接写出BD与DE.CE的数量关系？不需说明理由

(3)、如图(3)若将图（2）中的AB=AC改为∠ABD=∠ABC其余条件不变，问AD与AE的数量关系如何? 并说明理由.

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