浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识优生综合题特训
试卷更新日期：2021-11-10 类型：复习试卷
一、综合题
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1. 如图， 为 的高， 、 为 的角平分线，若 ， .
(1)、 ；(2)、求 的度数；(3)、若点 为线段 上任意一点，当 为直角三角形时，直接写出 的度数.2. 已知直线 与直线 、 分别交于 、 两点， 和 的角平分线交于点 ，且 .(1)、求证： ；
(2)、如图， 和 的角平分线交于点 ，求 的度数；
(3)、如图，若 ，延长线段 得射线 ，延长线段 得射线 ，射线 绕点 以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线 绕点 以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止.设它们同时旋转 秒，问 为多少时，射线 ，直接写出 的值 秒.
3.
(1)、如图①，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°.求∠DAE的度数；(2)、如图②，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，延长AE至点F，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B＝x°，∠C＝（x＋36）°.①∠CAE＝ ▲ （含x的代数式表示）；
②求∠F的度数．
4. 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．(1)、等角的余角相等；(2)、平行线的同旁内角的平分线互相垂直；(3)、和为180°的两个角叫做邻补角．5. AB和AC 相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B 、 ∠C、∠BAC的关系
小明是这样做的：
解：如图（2）以点A为端点作射线AD
∵∠1是△ABD的外角
∴∠1= ∠B+∠BAD
同理∠2=∠C+∠CAD
∴∠1+∠2=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD
即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
小英的思路是：如图（3）延长BD交AC于点E.
(1)、按小英的思路完成∠BDC=∠B+∠C+∠BAC这一结论.(2)、如图：△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O.猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明.
6. 如图1，线段AB、CD相交于点О，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”。如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
(1)、在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：(2)、仔细观察，在图2中“8字形”的个数个；(3)、在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；(4)、如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)7. 已知如图①， 、 分别是 的外角 、 的角平分线， 、 分别是 、 的角平分线， 、 分别是 、 的角平分线， ．
(1)、当 时， °， °；(2)、当 °时， ；(3)、如图②，当 时， 、 所在直线交于点O，求 的度数；(4)、在 的条件下，直接写出 、 、 三角之间的数量关系： ．8. 已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
(1)、如图1，求证：AB∥CD；(2)、如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；(3)、如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数．9. 已知：DE PQ，点A在直线DE上，点B、C都在PQ上（点B在点C的左侧），连接AB，AC，AB平分∠CAD.
(1)、如图1，求证：∠ABC＝∠BAC；(2)、如图2，点K为AB上一点，连接CK，若CK⊥AB，判断∠EAC与∠ACK之间的数量关系，并说明理由；(3)、在（2）的条件下，在直线DE上取一点F，连接FK，使得∠AKF＝30°.若∠DAB＝∠AFK+∠KCB，求∠ACB的度数.（要求：在备用图中画出图形后，再计算）10. 直线m与直线n相交于C，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点， 的平分线 与 的平分线 的反向延长线相交于点P.\
(1)、如图1，若 ，则 ；若 ，则 （结果用含 的代数式表示）；(2)、如图2，点F是直线n上一点，若点B在点C左侧，点F在点C右侧时，连接 ， 与 的平分线相交于点Q.①随着点B、F的运动， 的值是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
②延长 交直线n于点G，作 交 于点H，则 .
11. 互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.小亮：已知，如图三角形 ，点 是三角形 内一点，连接 ， ，试探究 与 ， ， 之间的关系.
小明：可以用三角形内角和定理去解决.
小丽：用外角的相关结论也能解决.
(1)、请你在横线上补全小明的探究过程：∵ ，（ ）
∴ ，（等式性质）
∵ ，
∴ ，
∴ .（ ）
(2)、请你按照小丽的思路完成探究过程；(3)、利用探究的结果，解决下列问题：①如图①，在凹四边形 中， ， ，求 ▲ ；
②如图②，在凹四边形 中， 与 的角平分线交于点 ， ， ，则 ▲ ；
③如图③， ， 的十等分线相交于点、 、 、…、 ，若 ， ，则 的度数为 ▲ ；
④如图④， ， 的角平分线交于点 ，则 ， 与 之间的数量关系是 ▲ ；
⑤如图⑤， ， 的角平分线交于点 ， ， ，求 的度数.
12. 如图，在 中， cm， ， cm，点F从点B出发，沿线段 以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
(1)、分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）(2)、当 时，求t的值；(3)、当 时，直接写出所有满足条件的 值.13. 如图，已知：AB∥CD，E是BD上一点，
(1)、AE，CE分别是∠BAC与∠ACD的平分线，求证：AE⊥CE；(2)、若AB+CD=AC，且E是BD中点.求证：CE平分∠ACD.14. 在△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠CAB，∠ACB，AD与CE交于点O
求证：
(1)、∠AOE=60°；(2)、AC=AE+CD.15.
(1)、问题背景：如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC， CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明Δ ΔADG，再证明Δ ΔAGF，可得出结论，他的结论应是.
(2)、探索延伸：如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF= ∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由.
16. 已知：如图1，在 和 中， ， ， .
(1)、请说明 .(2)、如图2，连接 和 ， ， 与 分别交于点 和 ， ，求 的度数.(3)、在（2）的条件下，若 ，请直接写出 的度数.17. 已知： 的高 所在直线与高 所在直线相交于点F．
(1)、如图1，若 为锐角三角形，且 ， ，过点F作 ，交直线 于点G，请直接写出 、 、 之间的数量关系：；(2)、如图2，若 ，过点F作 ，交直线 于点G，探究 、 、 之间满足的数量关系并加以证明；(3)、在（2）的条件下，将一个 角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段 于M、N两点（如图3），连接 ，线段 分别与线段 、线段 、线段 相交于P、Q、H三点．①探究 ， ， 之间数量关系并加以证明；
②求证： ．
18. 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC ， D是线段AB上一点，连结CD ， 将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE ， 连结DE ， BE ．
(1)、依题意补全图形；(2)、若∠ACD=α，用含α的代数式表示∠DEB；(3)、若△ACD的外心在三角形的内部，请直接写出α的取值范围．19. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．(1)、如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，设 ， 相交于点 ，若 ， ．请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？
(2)、在 中，如果 是不等于 的锐角，点 ， 分别在 ， 上，且 ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．20. 如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
(1)、若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的关系；(2)、如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.
21. 已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE ． AO为△ABC的中线，延长AO到点F ． 使得BF∥AC ． 连接EF ． EF交BC于点G ． AF交BE于点H ．
(1)、求证：BF＝CD+DE；
(2)、求证：∠FBE＝∠BAC
(3)、若∠C＝45°．求证：BD＝BG ．
22. 探索角的平分线的画法.(1)、画法1：利用直尺和圆规请在图中用直尺和圆规画出 的平分线 ；（不写画法不需证明，保留作图痕迹）
(2)、画法2：利用等宽直尺.如图，将一把等宽直尺的一边依次落在 的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O.画射线 ，则射线 是 的平分线.这种角的平分线的画法依据的是______.
A、 B、 C、 D、(3)、画法3：利用刻度尺已知：如图，在 的两条边上分别画 ， ，连接 、 ，交点为点O，画射线 .
求证： 是 的平分线.
(4)、画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法.请在图中画出 的平分线 ，写出画法，并加以证明.
23. 如图
(1)、作图：如图，已知△ABC ， ∠ACB＜120°，①作等边△ACD ， 使得点D ， B分别是直线AC异侧的两个点；
②作等边△BCE ， 使得点E ， A分别是直线BC异侧的两个点；
（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)、推理：在（1）所作的图中，设直线BD ， AE的交点为P ， 连接PC ，①求∠APD的度数；
②猜想PA ， PB ， PC与AE之间的等量关系，并证明：
(3)、变式：已知△ABC ， ∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线BD ， AE的交点为P ， 连接PC ． 测得∠PAB＝15°，PA＝ ，PB＝ ，PC＝ ．求点D到直线AB的距离．