山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | | x | < 2}$ ，集合 $P = {x | \log_{2} x < 1}$ ，则 $∁_{U} P =$ （）

A、 $(- 2 ， 0]$ B、 $(- 2 ， 1]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $[1 ， 2)$

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2. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上是单调递增的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = e^{- | x |}$ C、 $y = \ln | x |$ D、 $y = x^{3}$

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3. 对于非空数集 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n}} (n \in N^{*})$ ，其所有元素的算术平均数记为 $E (A)$ ，即 $E (A) = \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}}{n}$ ．若非空数集 $B$ 满足下列两个条件：① $B \subseteq A$ ；② $E (B) = E (A)$ ．则称 $B$ 为 $A$ 的一个“保均值子集”．据此，集合 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ 的“保均值子集”有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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4. 以下四个命题中，正确的是（）

A、在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B、 ${α | α = k π + \frac{π}{6} ， k \in Z} \neq$ ${β | β = - k π + \frac{π}{6} ， k \in Z}$ C、若 $α$ 是第二象限的角，则 $\sin 2 α < 0$ D、第四象限的角可表示为 ${α | 2 k π + \frac{3 π}{2} < α < 2 k π ， k \in Z}$

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5. 已知实数a，b满足 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 2$ ，则函数 $f (x) = a^{x} + x - b$ 的零点所在的区间是 $($ $)$

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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6. 若 $sin (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (\frac{π}{3} + 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{\ln | x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上是单调递增的．设 $a = f (\log_{4} 5) ， b = f (\log_{2} \frac{1}{3}) ， c = f ({0.2}^{0.5})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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9. 已知 $2 + 5 \cos 2 α = \cos α$ ， $\cos (2 α + β) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ，则 $\cos β$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{44}{125}$ C、 $- \frac{44}{125}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，为得到 $g (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，可以将函数 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x \cdot \cos^{2} (\frac{ω x}{2} - \frac{π}{4}) - \sin^{2} ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上是增函数，且在区间 $(0 ， π)$ 上恰好取得一次最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{5}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{5}]$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{5})$ D、 $(0 ， \frac{3}{5}]$

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12. 已知函数 $f (x) = | \log_{3} (x - 1) | - {(\frac{1}{3})}^{x} - 1$ ，有2个不同的零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} \cdot x_{2} < 1$ B、 $x_{1} \cdot x_{2} = x_{1} + x_{2}$ C、 $x_{1} \cdot x_{2} > x_{1} + x_{2}$ D、 $x_{1} \cdot x_{2} < x_{1} + x_{2}$

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二、填空题

13. 已知 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}$ ， $α \in (0 ， π)$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 9 ， x \leq 1 \\ x + \frac{4}{x} + a ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的最小值为 $f (2)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 设 $x_{1}$ 满足 $2 x + \ln x = 3$ ， $x_{2}$ 满足 $\ln (1 - x) - 2 x = 1$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ .

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， 0 < x ⩽ 2 \\ f (4 - x) ， 2 < x < 4 \end{array}$ ，方程 $f (x) = m$ 有四个不相等的实根 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知函数 $h (x) = (m^{2} - 5 m + 1) x^{m + 1}$ 为幂函数，且为奇函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = h (x) + \sqrt{1 - 2 x}$ 在 $x \in [- 1, \frac{1}{2}]$ 的值域.

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18.

(1)、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 3 ， \sqrt{3})$ ，求 $\frac{\tan (- α) + \sin (\frac{π}{2} + α)}{\cos (π - α) \sin (- 3 π - α)} + \tan 2 α + \tan \frac{α}{2}$ 的值

(2)、求 $3^{\log_{3} \frac{1}{4}} + 2 \log_{9} 2 - \log_{3} \frac{2}{9} + {(- 1)}^{0} + {(3 - \frac{17}{27})}^{- \frac{1}{3}} + \ln e^{\sqrt{3}}$ 值

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19. 已知函数 $f (x) = 4 \tan x \sin (\frac{π}{2} - x) \cos (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域与最小正周期及对称轴；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2})$ 上的值域；

(3)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的单调性．

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20.

(1)、已知函数 $g (x) = {(a + 1)}^{x - 2} + 1 (a > 0)$ 的图像恒过定点A，且点A又在函数 $f (x) = \log_{\sqrt{3}} (x + a)$ 的图像上，求不等式 $g (x) > 3$ 的解集；

(2)、已知 $- 1 \leq \log_{\frac{1}{2}} x \leq 1$ ，求函数 $y = {(\frac{1}{4})}^{x - 1} - 4 {(\frac{1}{2})}^{x} + 2$ 的最大值和最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1 + x}{1 + a x} (a \neq 1)$ 是奇函数，

(1)、若函数 $g (x) = f (x) + \frac{2}{2^{x} + 1}$ ， $x \in (- 1 ， 1)$ ，求 $g (\frac{1}{2}) + g (- \frac{1}{2})$ ；

(2)、在条件（1）下，若 $g (m) > g (n)$ ，其中 $m ， n \in (- 1 ， 1)$ ，试比较 $m ， n$ 的大小．

(3)、当 $x \in [0 ， \frac{1}{2}]$ 时，不等式 $f (x) + t^{2} > 4^{x} + 2 t$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围．

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22. 某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形 $A B C D$ 草坪如下图所示，已知： $A B = 120$ 米， $B C = 60 \sqrt{3}$ 米，拟在这块草坪内铺设三条小路 $O E$ 、 $E F$ 和 $O F$ ，要求点 $O$ 是 $A B$ 的中点，点 $E$ 在边 $B C$ 上，点 $F$ 在边 $A D$ 时上，且 $∠ E O F = 90^{\circ}$ .

(1)、设 $∠ B O E = α$ ，试求 $Δ O E F$ 的周长 $l$ 关于 $α$ 的函数解析式，并求出此函数的定义域；

(2)、经核算，三条路每米铺设费用均为 $300$ 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.

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