山东省菏泽市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x \leq 2}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | 2 < x \leq 3}$

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2. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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3. 在同一直角坐标系中， $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 与 $y = \log_{2} (- x)$ 的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数 $f (x) = 3^{x} - 4$ 的零点所在区间（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(0 ， 1)$

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5. 为了得到函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需把 $y = 3 \sin x$ 上所有的点（）

A、先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、先把图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，然后横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍 D、先把图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，然后横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍

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6. 若奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 内递减，则不等式 $f (1) < f (\lg x)$ 的解集是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{10}) \cup (10 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{10} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 10)$ D、 $(\frac{1}{10} ， 10)$

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7. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边在 $x$ 轴非负半轴上，且角 $α$ 的终边上一点 $P (1 ， 2)$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 已知扇形 $O A B$ 的面积为2，弧长 $\overset{⌢}{A B} = 2$ ，则 $A B =$ （）

A、 $2 \sin 1$ B、 $2 \sin \frac{1}{2}$ C、 $4 \sin 1$ D、 $4 \sin \frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、 $\lg a > \lg b$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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10. 下列命题正确的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $\log_{2} x = - 1$ B、 $x^{2} = 1$ 是 $x = 1$ 的充分不必要条件 C、 $\forall x \in N$ ， $x^{2} \geq 0$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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11. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，则关于函数 $y = f (x)$ 说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 是偶函数 B、函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递减 C、函数 $y = f (x)$ 的最大值为2 D、函数 $y = f (x)$ 图像关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称

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12. 某同学在研究函数 $f (x) = \frac{x}{1 - | x |}$ 时，给出下面几个结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 0)$ 对称 B、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ C、函数 $g (x) = f (x) + x$ 有三个零点 D、 $f (x)$ 的值域为 $R$

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三、填空题

13. $\cos 600 ° =$

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14. 已知lg2＝a，lg3＝b，则log₃12＝．

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15. 已知 $\sum_{i = 1}^{15} x_{i} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{15} y_{i} = 20$ ， $\sum_{i = 1}^{15} x_{i} y_{i} = 20$ ，则 $\sum_{i = 1}^{15} (x_{i} - 3) (y_{i} - 2) =$ .

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16. 空旷的田野上，两根电线杆之间的电线都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ (其中 $a$ ， $b$ 是非零常数，无理数 $e = 2.71828 \dots$ )，如果 $f (x)$ 为奇函数， $g (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x} - f (x)$ ，若命题 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $g (x) \geq 0$ 为真命题，则 $a$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知 $f (α) = \frac{\sin (180^{°} - α) \cos (180^{°} - α) \tan (90^{°} - α)}{\sin (270^{°} + α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、已知 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ， $f (α) = \frac{4}{5}$ ，求 $\tan α$ .

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18. 已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x | (x - 6) (x + 3) > 0}$ ， $B = {x | a < x \leq a + 2}$ .

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的最小值为 $g (a)$ .

(1)、求 $g (a)$ 的表达式；

(2)、在给出的平面直角坐标系下做出函数 $y = g (x)$ 的图像，并求关于 $x$ 的不等式 $g (x) > - 4$ 的解集.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + b x + 1}{a x} (a > 0)$ 为奇函数，且方程 $f (x) = 2$ 有且仅有一个实根.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = \ln f (e^{x})$ .求证：函数 $y = g (x)$ 为偶函数.

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21. 已知 $f (x) = 2 \sqrt{3} \cos ω x \sin ω x - 2 \cos^{2} ω x + 1 (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最大值和最小值并求相应的 $x$ 值.

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22. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a ， b \geq 0)$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 时有最大值 $1$ 和最小值 $0$ ，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + \frac{2 m}{| 2^{x} - 1 |} - 3 m - 1 = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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