辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 6 ， k)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、-12 B、12 C、3 D、-3

查看试题解析
2. 疫情期间，各地教育部门及学校为了让学生在家中学习之外可以更好地参与活动，同时也可以增进与家人之间的情感交流，鼓励学生在家多做家务运动，因为中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑.经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响.现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）

A、30 B、70 C、80 D、100

查看试题解析
3. 从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（）

A、“至少一个白球”和“都是红球” B、“至少一个白球”和“至少一个红球” C、“恰有一个白球”和“恰有一个红球” D、“恰有一个白球”和“都是红球”

查看试题解析
4. 在同一直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x \geq 0) ， g (x) = {log}_{a} x$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{2}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, e)$ D、 $(3, 4)$

查看试题解析
6. 已知 $a = 3^{0.1}$ ， $b = {(0.9)}^{3}$ ， $c = \log_{2} 0.2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

查看试题解析
7. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（）
05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74

07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51

51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48

A、680 B、585 C、467 D、159

查看试题解析
8. 区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有 $2^{256}$ 种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行 $2^{256}$ 次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行 $2.5 \times 10^{11}$ 次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）
（参考数据 $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）

A、 $4.5 \times 10^{73}$ 秒 B、 $4.5 \times 10^{65}$ 秒 C、 $4.5 \times 10^{7}$ 秒 D、28秒

查看试题解析

二、多选题

9. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的 $2000$ 名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ， $60$ 分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）

A、成绩在 $[70 ， 80)$ 的考生人数最多 B、不及格的考生人数为500 C、考生竞赛成绩的众数为75分 D、考生竞赛成绩的中位数约为75分

查看试题解析
10. 下列有关向量命题，不正确的是（）

A、若 ${\vec{a} ， \vec{b}}$ 是平面向量的一组基底，则 ${\vec{a} - 2 \vec{b} ， - \vec{a} + 2 \vec{b}}$ 也是平面向量的一组基底 B、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为非零向量，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ D、若 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 6$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的取值范围 $[5 ， 7]$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = 4^{| x |} + x^{2} + a$ ，下列命题正确的有（）

A、对于任意实数 $a$ ， $f (x)$ 为偶函数 B、对于任意实数a， $f (x) > 0$ C、存在实数 $a$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1)$ 上单调递减 D、存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 5$ 的解集为 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$

查看试题解析
12. 直角三角形 $A B C$ 中， $P$ 是斜边 $B C$ 上一点，且满足 $\overset{⇀}{B P} = 2 \overset{⇀}{P C}$ ，点 $M$ 、 $N$ 在过点 $P$ 的直线上，若 $\overset{⇀}{A M} = m \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = n \overset{⇀}{A C}$ ， $(m > 0 ， n > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 为常数 B、 $m + 2 n$ 的最小值为 $3$ C、 $m + n$ 的最小值为 $\frac{16}{9}$ D、 $m$ 、 $n$ 的值可以为： $m = \frac{1}{2}$ ， $n = 2$

查看试题解析

三、填空题

13. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则 $x + y$ 的值为．

查看试题解析
14. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若 $x \cdot f (x) \geq 0$ ，则 $x$ 的取值范围是.

查看试题解析
15. 求值：2 $^{\log_{2} \frac{1}{4}}$ $- {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}$ + $\lg \frac{1}{100} + {(\sqrt{2} - 1)}^{\lg 1}$ = ．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x + 1 ， x ⩽ 0 \\ | \log_{0.5} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有四个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $a$ 的最小值是， $x_{4} \cdot (x_{1} + x_{2}) + \frac{16}{x_{3} \cdot x_{4}^{2}}$ 的最大值是.

查看试题解析

四、解答题

17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.

(1)、求甲、乙二人都破译密码的概率；

(2)、求恰有一人破译密码的概率；

(3)、小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：
解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可表示为 $A + B$ ，所以 $P (A + B) = P (A) + P (B) = 0.8 + 0.7 = 1.5$ .

请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程.

查看试题解析
18. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{4} < 2^{x} \leq 8}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 < 0}$ ， $C = {x | | x - m | < 2}$ .
（Ⅰ）若 $m = 2$ ，求集合 $A \cap B$ ；

（Ⅱ）在 $B$ ， $C$ 两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题 $p$ ： $x \in A$ ，命题 $q$ ： $x \in$ ，求使 $p$ 是 $q$ 的必要非充分条件的 $m$ 的取值范围.

查看试题解析

19. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标

Y

进行检测，一共抽取了36件产品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标

Y

有关，具体见表.

质量指标 $Y$	$[9.8 ， 10.2)$	$[10.2 ， 10.6)$	$[10.6 ， 11.0]$
频数	6	18	12
年内所需维护次数	2	0	1

（Ⅰ）每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标 $Y$ 的平均值（保留两位小数）；

（Ⅱ）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标至少有一个在 $[10.2 ， 10.6)$ 内的概率；

（Ⅲ）已知该厂产品的维护费用为200元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加50元，该产品即可一年内免费维修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这36件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？

查看试题解析

20. 如图，在 $△ O A B$ 中，点 $P$ 为直线 $A B$ 上的一个动点，且满足 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $Q$ 是 $O B$ 中点.

（Ⅰ）若 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 3)$ ， $B (\frac{8}{3} ， 0)$ ，且 $\vec{O N} = \frac{1}{3} \vec{O A}$ ，求 $\vec{N Q}$ 的坐标和模

（Ⅱ）若 $A Q$ 与 $O P$ 的交点为 $M$ ，又 $\vec{O M} = t \vec{O P}$ ，求实数 $t$ 的值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \log_{3} (3^{a} x) \cdot \log_{3} \frac{x}{9}$ （常数 $a \in R$ ）.
（Ⅰ）当 $a = 0$ 时，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{1}{9} ， 27]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x + a)$ （ $a > 0$ ）.当点 $M (x ， y)$ 在函数 $y = g (x)$ 图象上运动时，对应的点 $M^{'} (3 x ， 2 y)$ 在函数 $y = f (x)$ 图象上运动，则称函数 $y = g (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的相关函数.

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、对任意的 $x \in (0 ， 1)$ ， $f (x)$ 的图象总在其相关函数图象的下方，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ ， $x \in (0 ， 1)$ .当 $a = 1$ 时，求 $| F (x) |$ 的最大值.

查看试题解析