辽宁省沈阳市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，集合 $A = {2 ， 4 ， 6 ， 7}$ ， $B = {1 ， 3 ， 4 ， 6}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 ${2 ， 7}$ B、 ${4 ， 6}$ C、 ${2 ， 5 ， 7}$ D、 ${2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$

查看试题解析
2. 某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35-49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35-49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）

A、19 B、95 C、220 D、280

查看试题解析
3. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 1$ ”是“ $2^{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）

A、 $\frac{4}{25}$ B、 $\frac{6}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{9}{25}$

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，若点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ B、 $\frac{7}{4} \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{c}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{7}{4} \vec{c}$

查看试题解析
6. 设 $a = 5^{0.6}$ ， $b = {(\frac{1}{5})}^{- 0.7}$ ， $c = \log_{0.6} 0.7$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

查看试题解析
7. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = 2 a b$ ，则a+2b的最小值为（）

A、9 B、5 C、 $\frac{9}{2}$ D、4

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1} + x$ （其中 $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828$ …），若实数 $m$ 满足 $f (m) = - 1$ ，则 $f (- m) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

查看试题解析
9. 下列命题中错误的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ C、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - d > b - c$ D、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$

查看试题解析

二、多选题

10. 在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）

A、考生成绩在 $[70 ， 80)$ 的人数最多 B、考生成绩在 $[80 ， 90)$ 对应的频率为0.015 C、不及格的考生人数为1000 D、考生成绩的平均分约为70.5

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = | {(\frac{1}{2})}^{x} - 1 | - b$ 有两个零点，分别为 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $- 1 < x_{1} < 0$ B、 $0 < x_{2} < 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{x_{1}} + {(\frac{1}{2})}^{x_{2}} = 2$ D、 $0 < b < 1$

查看试题解析
12. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x - 1}{x} = \frac{x - k}{x^{2} + x}$ 的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数 $k$ 可以为（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、-1 C、1 D、 $\frac{5}{4}$

查看试题解析

三、填空题

13. 计算 $\lg 8 + \lg 25 - \lg 2$ 的结果是．

查看试题解析
14. 设 $A ， B ， C$ 为三个随机事件，若 $A$ 与 $B$ 互斥， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (C) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A + B) =$ ．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + x ， x \geq 0 ， \\ 1 - x ， x < 0 ， \end{array}$ 则不等式 $x + f (x - 1) \leq 2$ 的解集是．

查看试题解析
16. 给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：① $y = \frac{1}{x}$ ；② $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．

查看试题解析

四、解答题

17. 设 $A ， B ， C ， D$ 为平面直角坐标系中的四点，且 $A (2 ， - 2)$ ， $B (4 ， 1)$ ， $C (1 ， 3)$ ．

(1)、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，求 $D$ 点的坐标及 $\vec{A D}$ ；

(2)、设向量 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{B C}$ ，若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 平行，求实数 $k$ 的值．

查看试题解析
18. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 4 x < 0}$ ， $B = {x | m \leq x \leq 3 m - 2}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $C_{U} (A \cap B)$ ；

(2)、如果 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时)，从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如下表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．

甲班

9

11

13

20

24

31

乙班

11

12

18

20

22

25

(1)、分别计算出甲、乙两班样本的平均值；

(2)、为了解学生过度熬夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；

(3)、从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + 1$ ( $a \in R$ )．

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上的最小值 $g (a)$ ；

(2)、设函数 $h (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，用定义证明： $h (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上是减函数．

查看试题解析
21. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格 $P (x)$ (单位：元)与时间 $x$ (单位：天)的函数关系近似满足 $P (x) = 10 + \frac{k}{x}$ ( $k$ 为常数，且 $k > 0$ )，日销售量 $Q (x)$ (单位：件)与时间 $x$ (单位：天)的部分数据如下表所示：

$x$

10

15

20

25

30

$Q (x)$

50

55

60

55

50

已知第10天的日销售收入为505元．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下四个函数模型：
① $Q (x) = a x + b$ ；② $Q (x) = d | x - m | + b$ ；③ $Q (x) = a \cdot b^{x}$ ；④ $Q (x) = a \cdot {log}_{b} x$ ．

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)、设该工艺品的日销售收入为 $f (x)$ (单位：元)，求 $f (x)$ 的最小值．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) + k x$ 是偶函数（其中 $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828$ …）．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = \frac{1}{2} x + b$ 在区间 $[- 1 ， 0]$ 上有实数根，求实数 $b$ 的取值范围．

查看试题解析

甲班	9	11	13	20	24	31
乙班	11	12	18	20	22	25

$x$	10	15	20	25	30
$Q (x)$	50	55	60	55	50