辽宁省辽阳市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 3 x - 4 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 4 ， 2)$ C、 ${- 4 ， 2}$ D、 $(- 4 ， 0)$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$ C、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} \leq 0$ D、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} \leq 0$

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3. 已知 $a = 4^{0.6} ， b = {log}_{9} 8 ， c = ln 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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4. “ $x \in Q$ ”是“ $x \in Z$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = x ln | x |$ 的图象大致为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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6. 某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（）

A、总体中对平台一满意的消费人数约为36 B、样本中对平台二满意的消费人数为300 C、若样本中对平台三满意的消费人数为120，则 $m = 50 %$ D、样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为54

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7. 下表为随机数表的一部分：
08015   17727   45318   22374   21115   78253

77214   77402   43236   00210   45521   64237

已知甲班有60位同学，编号为 $00 ~ 59$ 号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（    ）

A、11 B、15 C、25 D、37

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8. 已知 $\min {a ， b ， c}$ 表示实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 中的最小值，设函数 $f (x) = \min {x + 1 ， 3 x - 1 ， g (x)}$ ，若 $f (x)$ 的最大值为4，则 $g (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $g (x) = 1 - x$ B、 $g (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ C、 $g (x) = 4 x - 8$ D、 $g (x) = 2^{x} - 4$

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二、多选题

9. 若向量 $\vec{a} = (λ ， - 1)$ 与 $\vec{b} = (3 ， 1)$ 共线，则（）

A、 $λ = - 3$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ C、 $λ = 3$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{10}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 在其定义域内单调递增，且 $f (1) = - 1$ ，若 $f (x)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则（）

A、 $f^{- 1} (- 1) = 1$ B、 $f^{- 1} (x)$ 在定义域内单调递增 C、 $f^{- 1} (1) = 1$ D、 $f^{- 1} (x)$ 在定义域内单调递减

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11. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 11) x^{m + 7}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，则（）

A、 $m = 3$ B、 $f (- 1) = 1$ C、 $m = - 4$ D、 $f (- 1) = - 1$

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12. 设非零实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} > - 1 > \frac{1}{b}$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $\frac{1}{a} + b + 2 > 0$ C、 $a^{2} + \frac{1}{b^{2}} > 1$ D、 $b > - \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $a > 1$ ，则 $a + \frac{2}{a - 1}$ 的最小值为，此时 $a =$ ．

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14. 已知 $A (5 ， - 7)$ ， $B (3 ， - 1)$ ，且C与A关于点B对称，则C的坐标为．

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15. 已知一组样本数据1、2、 $m$ 、8的极差为8，若 $m > 0$ ，则其方差为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 1 | ， x \leq 0 ， \\ \lg x ， x > 0 ， \end{array}$ 若方程 $3 m f^{2} (x) - (2 m + 3) f (x) + 2 = 0$ 有6个不同的实数解，则m的取值范围是．

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四、解答题

17. 在① $2 \in M ， 3 \notin M$ ，②函数 $y = \frac{a}{x} - 1$ 的图象经过点 $P (2 ， - \frac{5}{4})$ ，③ $a < 0$ ， $2 a^{2} - 5 a - 3 = 0$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知集合 $M = {x \in N | x \leq 3 + 2 a}$ ， $N = {x | 1 < 2 x + 1 < 6}$ ，且 ▲ ，求 $M \cap N$ .

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18.

(1)、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量， $\vec{A B} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} - 5 \vec{b}$ ，证明：A，B，D三点共线．

(2)、已知E，F分别是 $△ A B C$ 边AB，AC上的点，且 $E F ∥ B C$ ， $A E = \frac{2}{3} A B$ ．如果 $\vec{A E} = \vec{a}$ ， $\vec{A F} = \vec{b}$ ，试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B C}$ ， $\vec{C E}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 4)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求不等式 $f (x) > 3$ 的解集．

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20. 甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ $[90 ， 100]$ 五组，并整理得到如下频率分布直方图：

已知甲测试成绩的中位数为75．

(1)、求x，y的值，并求出甲的测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；

(2)、从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率．

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21. （已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为 $R (x)$ 万美元，且 $R (x) = {\begin{matrix} 400 - 6 x ， 0 < x \leq 40 \\ \frac{7400}{x} - \frac{40000}{x^{2}} ， x > 40 \end{matrix}$ .

(1)、写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

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22. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式．

(2)、证明： $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增．

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (a x^{2} - 3 x - 1) + f (5 - a x) + a x^{2} - (3 + a) x + 4 > 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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