辽宁省锦州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {0 ， 1} ， B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{1} B、 ${2 ， 3}$ C、 ${0 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x > 0 ， x^{2} - x + 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x < 0 ， x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x > 0 ， x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x > 0 ， x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x < 0 ， x^{2} - x + 1 \geq 0$

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3. 用“反证法”证明不等式 $\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}$ 首先应该（）

A、假设 $\sqrt{3} + \sqrt{7} > 2 \sqrt{5}$ B、假设 $\sqrt{3} + \sqrt{7} \geq 2 \sqrt{5}$ C、假设 $\sqrt{3} + \sqrt{7} \leq 2 \sqrt{5}$ D、假设 $\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}$

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4. 人们通常以分贝(符号是 $d B$ )为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为 $x$ 的声音对应的等级为 $f (x) d B$ ，则有 $f (x) = 10 \lg \frac{x}{1 \times 10^{- 12}}$ ，一架小型飞机降落时，声音约为 $100 d B$ ，轻声说话时，声音约为 $30 d B$ ，则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的（）倍

A、1000 B、 $10^{5}$ C、 $10^{7}$ D、 $10^{8}$

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5. 三个数 $a = \log_{3} 0.2 ， b = {0.2}^{3} ， c = 2^{0.3}$ 的大小顺序是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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6. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 \sqrt{x} + x^{2}$ ，则 $f (x - 1) < 20$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 5)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 3 ， 5)$

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7. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{D E} = - 2 \vec{C E}$ ，且 $O$ 是边 $A B$ 中点，若 $A E$ 交 $D O$ 于点 $M$ ．且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ | \log_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) - a (a \in R)$ ，若 $g (x)$ 有四个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} (x_{1} + x_{2}) + \frac{1}{x_{3}^{2} x_{4}}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{7}{2})$ ． C、 $(- 1 ， \frac{7}{2}]$ D、 $(- 1 ， 1)$

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二、多选题

9. 2020年锦州市举办了“脱颖杯”青年教师教学比赛，某学科聘请 $7$ 名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为某选手的具体评分如茎叶图所示，则以下选项正确的有（）

A、七名评委评分的极差为13 B、七名评委评分的众数为91 C、七名评委评分的30%分位数为87 D、该选手最终得分为88分

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10. 如果实数 $a < b < 0$ ，则下列不等式中成立的为（）

A、 $a^{\frac{1}{3}} > b^{\frac{1}{3}}$ B、 $\frac{1}{a - b} < \frac{1}{a}$ C、 $\frac{a}{b} > 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $[- 1 ， 5]$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2)$ 上是增函数，在区间 $[2 ， 5]$ 上是减函数，则以下说法一定正确的是（）

A、 $f (2) > f (5)$ B、 $f (- 1) = f (5)$ C、 $f (x)$ 在定义域上有最大值，最大值是 $f (2)$ D、 $f (0)$ 与 $f (3)$ 的大小不确定

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12. 函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上是减函数 B、值域为 $(- \infty ， + \infty)$ C、图像关于原点对称 D、有反函数

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x + 3$ ，则 $f (1) =$ ． $f (x) =$

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14. 不等式 $\log_{3} x > \frac{1}{2} (x - 1)$ 的解集为．

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15. 2013年华人数学家张益康证明了李生素数猜想的一个弱化形式，李生素猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述，存在无穷多个素数 $p$ ，使得 $p + 2$ 是素数，称素数对 $(p ， p + 2)$ 为孪生素数．如果在不超过20的素数中，随机选收两个不同的数，则选取的两个数能够组成孪生素数的概率是．

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16. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，满足 $x + 2 y + \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 6$ ，存在实数m，对于任意x，y，使得 $m \leq x + 2 y$ 恒成立，则m的最大值为.

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四、、解答题

17. 已知集合 $M = {x | x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a < 0} ， N = {x | y = \lg (x - 1)}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $M \cup (C_{R} N)$

(2)、若 $x \in M$ 是 $x \in N$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 平面内三个向量 $\vec{a} = (7 ， 5) ， \vec{b} = (- 3 ， 4) ， \vec{c} = (1 ， 2)$

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{2 b} - \vec{3 c} |$

(2)、求满足 $\vec{a} = m \vec{b} + n \vec{c}$ 的实数 $m ， n$

(3)、若 $(k \vec{a} + \vec{c}) / / (\vec{b} - \vec{c})$ ，求实数 $k$

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19. 与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛．要求每支代表队3人，在必答题环节规定每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分、在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，乙队三个人回答问题正确的概率分别为 $\frac{1}{2} ， \frac{2}{3} ， \frac{3}{5}$ ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响，

(1)、求甲队至少得1分的概率；

(2)、求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．

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20. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图如图所示．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值

(2)、若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于80分的概率：

(3)、假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分

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21. 为响应市政府提出的以新旧动能转换为主题的发展战略，某公司花费100万元成本购买了一套新设备用于扩大生产，预计使用该设备每年收入为100万元，第一年该设备的各种消耗成本为8万元，且从第二年开始每年比上一年消耗成本增加8万元.（总利润 $=$ 总收入 $-$ 总成本）

(1)、求该设备使用8年的总利润；

(2)、求该设备使用 $n$ 年的总利润 $y$ （万元）与使用年数 $n (n \in N^{*})$ 的函数关系式：

(3)、这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？并求出年平均利润的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1} - 3}{2^{x} - 1} ， x \in (0 ， + \infty)$

(1)、判断并用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性：

(2)、定义若函数 $f (x)$ 的定义域为 $(a ， b)$ ，值域为 $(m 2^{a} ， m 2^{b})$ ，则称 $(a ， b)$ 为 $f (x)$ 的 $m$ 倍指数跟随区间，特别地，若 $m = 1$ ，则简称 $(a ， b)$ 为 $f (x)$ 的“指数跟随区间”
①是否存在 $b > a > 0$ ，使得 $(a ， b)$ 为 $f (x)$ 的“指数跟随区间"，请说明理由；

②若存在 $b > a > 0$ ，使得 $(a ， b)$ 为 $f (x)$ 的“ $m$ 倍指数跟随区间”求实数 $m$ 的取值范围：

(3)、函数 $g (x) = \frac{2}{3} x + 1$ ，分别计算 $f (x) ， g (x)$ 在区间 $[a ， a + 1] (0 < a < 1)$ 上的平均变化率，并比较它们的大小．

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