辽宁省葫芦岛市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 3}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 4}$ C、 ${2 ， 5}$ D、 ${2 ， 4 ， 5}$

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2. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）

A、平均数>第60百分位数>众数 B、平均数<第60百分位数<众数 C、第60百分位数<众数<平均数 D、平均数=第60百分位数=众数

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3. 幂函数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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4. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．

根据该走势图，下列结论正确的是（）

A、这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B、这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C、从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差 D、从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值

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5. 河图洛书是远古时代流传下来的两幅神秘图案，起源于天上星宿，蕴含着深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”是阴阳五行术书之本，是中华文明之源，洛书又称为龟书，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆为阳数，四隅黑点为阴数.其各行各列及对角线点数之和皆为15，如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使2个数与居中阳数之和等于11或19的概率（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、“ $x = 3$ ”的必要不充分条件是“ $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ” B、“ $a = b$ ”是“ $a c = b c$ ”的充要条件 C、“ $m$ 是实数”的必要不充分条件是“ $m$ 是有理数” D、“ $f (x)$ 为奇函数”是“ $f (0) = 0$ ”的充分不必要条件

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7. 已知 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (0 ， 3)$ ， $O$ 为坐标原点，点 $C$ 在第二象限内， $| O C | = 3 \sqrt{2}$ ，且 $∠ A O C = 45^{\circ}$ ，设 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + \vec{O B} (λ \in R)$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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8. 某工厂为了减少生产车间产生的噪音对工人身体健康的影响，专门成立研究团队研制“抗噪音帽”，大量数据表明，噪音的强度 $x$ 与分贝等级 $f (x)$ 有如下关系： $f (x) = 10 lg \frac{x}{A_{0}}$ （其中 $A_{0}$ 为常数），对身体健康有影响的声音约480分贝，其对应的噪声强度称为临界值，车间作业时发出的声音约1000分贝，研制“抗噪音帽”需要用噪音强度与临界值的比值来确定所用材料，则噪音强度与临界值的比值是（）

A、 $\frac{25}{12}$ B、 $10^{\frac{25}{12}}$ C、 $10^{52}$ D、 $e^{52}$

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二、多选题

9. 对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）

A、若ac²>bc² ，则a>b B、若a>b，c>d，则a+c>b+d C、若a>b，c>d，则ac>bd D、若a>b，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 若正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 4$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0} ， S_{△ B O C} ， S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ B O C ， △ A B C$ 的面积，则 $S_{△ B O C} ： S_{△ A B C} = 1 ： 3$ B、 $\vec{a} ， \vec{b}$ 两个非零向量，若 $| \vec{a} | = | \vec{b} | ，$ 则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若向量 $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}$ ，则线段 $A C = A B + B C$ D、两个非零向量 $\vec{a} ， \vec{b} ，$ 若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向

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12. 若函数 $f (x)$ 在区间 $M$ 上满足 $\frac{a}{f (x + 2)} = \frac{1}{f (x)}$ ，则称 $f (x)$ 为 $M$ 上的“ $a$ 变函数”，对于 $a$ 变函数 $f (x)$ ，若 $f (x) \leq g (t)$ 有解，则称满足条件的 $t$ 值为“ $a$ 变函数 $f (x)$ 的衍生解”，已知 $f (x)$ 为 $(- \infty ， - 2]$ 上的“ $4$ 变函数”，且当 $x \in [- 2 ， 0)$ 时， $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} \frac{1}{| x |} ， (- 2 \leq x < - 1) \\ {(\frac{1}{2})}^{x - 1} ， (- 1 \leq x < 0) \end{matrix}$ ， $g (t) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 t}$ ，当 $x \in [- 4 ， - 2)$ 时，则下列哪些是 $4$ 变函数 $f (x)$ 的衍生解（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $[- 2 ， 0)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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三、填空题

13. 命题： $\exists x \in (- 3 ， + \infty) ， x^{2} < 9$ 的否定为．

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14. 已知 $2^{a} = 3 ， \log_{4} 5 = b ，$ 试用 $a ， b$ 表示 $\log_{4} 45$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1}$ ，若 $f (a) = \frac{2}{3}$ ，则 $f (- a) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 3 x | ， x \in R ，$ 若函数 $g (x) = f (x) + a | x - 4 |$ 恰有4个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | y = \ln (2 - x)} ， B = {x | 2^{x} \geq \frac{1}{2}} ， A \cap B = M ， N = {x | 2 a - 1 < x \leq a + 5} .$

(1)、求 $M$ ；

(2)、在① $M \cap N = M$ ；② $M \cap N = \emptyset$ 两个条件中任选一个，补充在问题中，求 $a$ 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 3) ， \vec{c} = (5 ， - 3)$ .

(1)、求 $6 \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ ；

(2)、若且 $\vec{a} = m \vec{b} + n \vec{c}$ ，求实数 $m ， n$ 的值；

(3)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) / / (\vec{c} - 2 \vec{a})$ ，求实数 $k$ 的值.

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19. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或者没人都已投3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{4}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各次投篮互不影响.

(1)、求乙获胜的概率；

(2)、求投篮结束时，乙只投了2个球的概率.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{1}{x} (x \neq 0 ， a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围.

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21. 某高校为了更好的掌握学校毕业生的发展情况成立了校友联络部，调查统计学生毕业后的就业、收入、发展、职业幸福感等情况，校友联络部在2020年已就业的毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，经调查统计发现，他们的月薪在3000元到10000元（不含10000元）之间，经调查问卷数据表按照第1组 $[3000 ， 4000)$ ，第2组 $[4000 ， 5000)$ ，第3组 $[5000 ， 6000)$ ，第4组 $[6000 ， 7000)$ ，第5组 $[7000 ， 8000)$ ，第6组 $[8000 ， 9000)$ ，第7组 $[9000 ， 10000)$ 绘制成如下的频率分布直方图；

若月薪落在区间 $(\bar{x} - 2 s ， \bar{x} + 2 s)$ 的左侧，则认为该毕业生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，从而为毕业生就业提供更好的指导意见，其中 $\bar{x} ， s$ 分别为样本平均数和样本标准差，已知 $s \approx 1500$ 元.

(1)、现该校毕业生小李月薪为3600元，试判断小李是否属于“就业不理想”的学生；

(2)、为感谢同学们对这项调查工作的支持，校友联络部现利用分层抽样的方法从样本的第2组和第3组中抽取5人，各赠送一份礼品，并从这5人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1个人月薪少于5000元的概率；

(3)、位于省会城市的该校毕业生共200人，他们决定于2021年元旦期间举办一次校友会，并收取一定的活动经费，假定这200人所抽取样本中的100人月新分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：
方案一：按每人一个月薪水的10%收取（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

方案二：月薪不低于7000元的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于7000元的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何费用.

问：哪一种收费方案最终总费用更少？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} - \frac{2}{e^{x} + 1}$ ，函数 $g (x) = (e^{x} + 1) f (x)$ .

(1)、若 $| g (- m) | < \frac{1}{4}$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、令 $h (x) = 2 a^{x} (g (x) + m) + m$ ，若对 $\forall x_{1} \in R$ ，均 $\exists x_{2} \in [0 ， \ln 2]$ ，使得 $f (x_{1}) + h (x_{2}) < 0$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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