辽宁省丹东市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 5} ， B = {x ∣ x > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 5}$ B、 ${x ∣ x > 0}$ C、 ${x ∣ x > - 2}$ D、 ${x ∣ x < 5}$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + x = 6$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} \neq 6$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} + x \neq 6$ C、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} = 6$ D、 $\forall x \notin R ， x^{2} + x \neq 6$

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3. 设向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - k \vec{b}$ 共线，则实数 $k =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4. 已知方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、6

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5. 化学上用溶液中氢离子物质的量浓度的常用对数值的相反数表示溶液的 $p H$ 值，例如氢离子物质的量浓度为 $0.1 mol / L$ 的溶液，因为 $- \lg 0.1 = 1.0$ ，所以该溶液的 $p H$ 值是1.0.现有 $p H$ 值分别为3和4的甲乙两份溶液，将 $1 L$ 甲溶液与 $2 L$ 乙溶液混合，假设混合后两份溶液不发生化学反应且体积变化忽略不计，则混合溶液的 $p H$ 值约为（　　）
（精确到0.1，参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010 ， \lg 3 \approx 0.4771 ， \lg 11 \approx 1.0413$ .）

A、3.2 B、3.3 C、3.4 D、3.8

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6. 使幂函数 $y = x^{α}$ 为偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数的 $α$ 值为（）

A、-1 B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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7. 定义运算 $a \oplus b = {\begin{array}{l} a ， a < b \\ b ， a \geq b \end{array}$ ，若函数 $f (x) = 2^{x} \oplus 2^{- x}$ ，则 $f (x)$ 的值域是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1]$

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8. 若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 的三个零点分别是 $- 1 ， 1 ， x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (3 ， 4)$ ，则（）

A、 $0 < c < 1$ B、 $1 < c < 2$ C、 $2 < c < 3$ D、 $3 < c < 4$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、“x²＞1”是“x＞1”的充分不必要条件 B、设M⫋N，则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件 C、“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 D、“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分必要条件

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10. 已知点 $(8 ， \frac{3}{2})$ 在对数函数 $f (x)$ 的图象上，则（）

A、 $f (0.5) > 0$ B、 $\frac{1}{f (2)} > \frac{1}{f (5)}$ C、若 $x \in [\frac{1}{4} ， 2]$ ，则 $f (x) \in [- 2 ， 1]$ D、函数 $f (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间为 $(3 ， + \infty)$

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11. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + 1)$ 是奇函数，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x + 1) = - f (- x - 1)$ C、 $f (- x + 2) = - f (x)$ D、 $| f (x + 1) |$ 为偶函数

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三、填空题

12. 从含有两件正品 $a_{1} ， a_{2}$ 和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为.

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13. 若函数 $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象关于 $y = x$ 对称，则 $g (x) =$ .

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14. 当 $x > 2$ 时， $x^{2} - (1 + a) x + a > 0$ ，则a的取值范围是.

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15. 古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，O为线段 $A B$ 中点，C为 $A B$ 上异于O的一点，以 $A B$ 为直径作半圆，过点C作 $A B$ 的垂线，交半圆于D，连结 $O D ， A D ， B D$ ，过点C作 $O D$ 的垂线，垂足为E.设 $A C = a ， C B = b$ ，则图中线段 $O D = \frac{a + b}{2} = x$ ，线段 $C D = \sqrt{a b} = y$ ，线段 $= \frac{2 a b}{a + b} = z$ ；由该图形可以得出 $x ， y ， z$ 的大小关系为.

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四、解答题

16. 已知甲乙两人的投篮命中率分别为 $0.8 ， 0.7$ ，如果这两人每人投篮一次，求：

(1)、两人都命中的概率；

(2)、两人中恰有一人命中的概率.

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17. 已知平面上点 $A (4 ， 1) ， B (3 ， 6) ， D (2 ， 0)$ ，且 $\vec{B C} = \vec{A D}$ .

(1)、求 $| \vec{A C} |$ ；

(2)、若点 $M (- 1 ， 4)$ ，用基底 ${\vec{A B} ， \vec{A D}}$ 表示 $\vec{A M}$ .

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18. 有三个条件：① $f (x + 1) = f (x) + 2 x - 1$ ；② $f (x + 1) = f (1 - x)$ 且 $f (0) = 3$ ；③ $f (x)$ 最小值为2且 $f (0) = 3$ .从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数 $f (x)$ 满足_________， $f (1) = 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) ， x \in [- 1 ， 4]$ ，求 $g (x)$ 的值域.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x + a} + 1)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的定义域

(2)、若 $f (x)$ 为奇函数，求a值.

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20. 一次高三高考适应性测试，化学、地理两选考科目考生的原始分数分布如下：

等级	A	B	C	D	E
比例	约15%	约35%	约35%	约13%	约2%
化学学科各等级对应的原始分区间	$[90 ， 100]$	$[77 ， 90)$	$[69 ， 77)$	$[66 ， 69)$	$[63 ， 66)$
地理学科各等级对应的原始分区间	$[79 ， 98]$	$[72 ， 79)$	$[66 ， 72)$	$[63 ， 66)$	$[60 ， 63)$

(1)、分别求化学、地理两学科原始成绩分数的

90 %

分位数

X_{1} 、 X_{2}

的估计值（结果四舍五入取整数）；

(2)、按照“

3 + 1 + 2

”新高考方案的“等级转换赋分法”，进行等级赋分转换，求（1）中的

X_{1} 、 X_{2}

估计值对应的等级分，并对这种“等级转换赋分法”进行评价.

附：“ $3 + 1 + 2$ ”新高考方案的“等级转换赋分法”

（一）等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间

等级	A	B	C	D	E
原始分从高到低排序的等级人数占比	约15%	约35%	约35%	约13%	约2%
转换分T的赋分区间	$[86 ， 100]$	$[71 ， 85]$	$[56 ， 70]$	$[41 ， 55]$	$[30 ， 40]$

（二）计算等级转换分T的等比例转换赋分公式： $\frac{Y_{2} - Y}{Y - Y_{1}} = \frac{T_{2} - T}{T - T_{1}}$ ，其中 $Y_{1} ， Y_{2}$ 分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限； $T_{1} ， T_{2}$ 分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限（T的计算结果四舍五入取整数）.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 满足： $\forall x \in R ， f (x) \geq 2 x + b$ .

(1)、证明： $c \geq \frac{b^{2}}{4} + 1$ ；

(2)、对满足已知的任意 $b ， c$ 值，都有 $f (c) - f (b) \leq m (c^{2} - b^{2})$ 成立，求m的最小值.

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