辽宁省大连市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. “ $\vec{a} = \vec{b}$ ”是“ $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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2. 若 $A = (- 1 ， 3)$ ， $B = {x | y = \log_{2} (2 - x)}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 3 \leq x}$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | 2 \leq x < 3}$ D、 ${x | x < 3}$

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3. 若样本平均数为 $\bar{x}$ ，总体平均数为μ，则（）

A、 $\bar{x}$ =μ B、 $\bar{x}$ ≈μ C、μ是 $\bar{x}$ 的估计值 D、 $\bar{x}$ 是μ的估计值

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4. 如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$

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5. 幂函数 $y = x^{- 1}$ 及直线 $y = x$ ， $y = 1$ ， $x = 1$ 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），则幂函数 $y = x^{\frac{1}{2}}$ 的图象经过的“卦限”是（）

A、①，⑦ B、④，⑧ C、③，⑦ D、①，⑤

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6. 从含有两件正品 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 和一件次品 $b$ 的 $3$ 件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 基本再生数R₀与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R₀ ， T近似满足R₀ =1+rT.有学者基于已有数据估计出R₀=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）

A、1.2天 B、1.8天 C、2.5天 D、3.5天

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， x \geq 0 \\ \lg (- x) ， x < 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + f (x) + t = 0$ 有三个不同的实根，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{4}]$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 设A，B，C为三个事件，下列各式意义表述正确的是（）

A、 $\bar{A} B C$ 表示事件A不发生且事件B和事件C同时发生 B、 $\bar{A + B + C}$ 表示事件A，B，C中至少有一个没发生 C、 $A + B$ 表示事件A，B至少有一个发生 D、 $\bar{A} \bar{B} C + \bar{A} B \bar{C} + A \bar{B} \bar{C}$ 表示事件A，B，C恰有一个发生

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10. 已知正数 $a$ ， $b$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ B、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ C、 ${(a + b)}^{2} \geq 2 (a^{2} + b^{2})$ D、 $\frac{2 a b}{a + b} > \sqrt{a b}$

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11. 下列结论正确的是（）

A、一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B、若 $a \vec{e_{1}} + b \vec{e_{2}} = c \vec{e_{1}} + d \vec{e_{2}}$ （ $a ， b ， c ， d \in R$ ， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是单位向量），则 $a = c$ ， $b = d$ ． C、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 $\Leftrightarrow$ 存在不全为零的实数 $λ_{1}$ ， $λ_{2}$ ，使 $λ_{1} \vec{a} + λ_{2} \vec{b} = \vec{0}$ D、已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，则 $x + y = 1$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} x | (0 < x < 2) \\ x^{2} - 8 x + 13 (x \geq 2) \end{array}$ ，若 $f (x) = a$ 有四个解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $x_{1} + 2 x_{2} \in (3 ， + \infty)$ C、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} \in (10 ， \frac{21}{2})$ D、 $x_{3} \in [2 ， + \infty)$

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三、填空题

13. $\lg 2 + \lg 5 + 2^{\log_{2} 3}$ 的值为．

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14. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 4 \vec{a} + k \vec{b}$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则 $k =$ ．

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15. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，估计这批米内所夹的谷有石．（只要求写出运算式，不用化简）

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16. 已知定义在 $R$ 上函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} + 2 x + 1$ ，已知定义在R上函数 $y = g (x)$ 满足 $g (x) + g (- x) = 2$ ，设函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象交点为 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{n} ， y_{n})$ ，则 $f (2) + f (- 2)$ 的值为； $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i})$ 的值为（用 $n$ 表示）．

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四、解答题

17. 如图，已知M， $N$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 三边 $B C$ ， $C A$ ，AB上的点，且 $\vec{B M} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = \frac{1}{4} \vec{C A}$ ， $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ，如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，试用基底 ${\vec{a} ， \vec{b}}$ 表示向量 $\vec{N P}$ ， $\vec{A M}$ ．

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18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照 $[0 ， 1)$ ， $[1 ， 2)$ ， $[2 ， 3)$ ， $[3 ， 4)$ ， $[4 ， 5]$ 分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（I）求图中a的值；

（II）假设同组中的每个数据都用该组区间的中值点代替，估计全市家庭月均用水量的平均数．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a e^{- x}$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ 的图象经过点 $P (\frac{3}{2} ， \ln 2)$ ．
（I）求函数 $f (x)$ 的解析式；

（II）判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明．

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20. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{5}$ 、 $\frac{2}{5}$ 、 $\frac{1}{5}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

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21. 定义满足性质“ $y = f (x) (x \in D)$ ，对任意 $x$ ， $y$ ， $\frac{x + y}{2} \in D$ 均满足 $f (\frac{x + y}{2}) \geq \frac{1}{2} [f (x) + f (y)]$ ，当且仅当 $x = y$ 时等号成立．”的函数叫M函数．
（I）下列函数（1） $g (x) = - x^{2}$ ；（2） $m (x) = x^{2}$ ；（3） $h (x) = e^{x}$ ；（4） $g (x) = \log_{2} x$ 是M函数是_________（直接写出序号）

（II）选择（I）中一个M函数，加以证明；

（III）试利用M函数解决下列问题：若实数 $m$ ， $n$ 满足 $2^{m} + 2^{n} = 1$ ，求 $m + n$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \log_{a} (m x + b) - \log_{a} x$ ，其中 $b \in R$ ．
（I）若 $m = b = 2$ ，且 $x \in [\frac{1}{4} ， 2]$ 时， $f (x)$ 的最小值是-2，求实数 $a$ 的值；

（II）若 $m = 2$ ， $0 < a < 1$ ，且 $x \in [\frac{1}{4} ， 2]$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；

（III）若 $a = 2$ ， $b = 1$ ， $\forall t \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，函数 $g (x) = f (x) - \log_{2} x$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不大于2，求正数m的取值范围．

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