江西省赣州市2020-2021学年度高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \geq 0 ， \\ x + 2 ， x < 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、-1 B、1 C、-27 D、27

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2. 若集合 $A = {x \in N | x \leq 2}$ ， $B = {x | y = {log}_{2} x}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${x | 0 < x \leq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$

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3. 设 $a = \log_{2} \frac{1}{3} ， b = 2^{0.3} ， c = \tan \frac{π}{12}$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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4. 已知映射 $f ： A \to B$ .若集合A中元素x在对应法则f下的像是 $| x |$ ，则B中元素 $\sqrt{2}$ 的原像可以是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、2

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5. 若圆的半径为6cm，则圆心角为 $\frac{π}{18}$ 的扇形面积是（）

A、 $\frac{π}{2} {cm}^{2}$ B、 $π {cm}^{2}$ C、 $\frac{3 π}{2} {cm}^{2}$ D、 $2 π {cm}^{2}$

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6. 若函数 $f (x) = 2^{x} + x - 4$ 的零点所在区间为 $(k ， k + 1) (k \in Z)$ ，则 $k$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 函数 $f (x) = \frac{2 \sin x + x}{x^{2} + 1}$ 在 $x \in [- π ， π]$ 上的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若不等式 $x^{2} - 2 x - m < 0$ 在 $x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{3}{4} + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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9. 设直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 与函数 $y = \sin x$ ， $y = \cos x$ ， $y = \tan x$ 的图像在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内交点的横坐标依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $\sin (x_{1} + x_{2} + x_{3}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 已知锐角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合.若角 $α$ 的终边与圆心在原点的单位圆交于点 $P (a ， b)$ ，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在区间 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$ 上具有单调性，则角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{6}]$ B、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ D、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$

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11. 已知 $m \in R$ ，若函数 $f (x) = e^{| x + m |}$ 对任意 $x \in R$ 满足 $f (20 x - 21) = f (21 - 20 x)$ ，则不等式 $f (\ln x) + f (\ln \frac{1}{x}) \geq 2 e$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e}] \cup [e ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e} ， e]$ C、 $(0 ， \frac{1}{e}] \cup [e ， + \infty)$ D、 $[e ， + \infty)$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x + 1)$ 也是奇函数，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = 1 - \frac{1}{x}$ .若函数 $F (x) = f (x) + \sin π x$ ，则 $F (x)$ 在区间 $[1949 ， 2021]$ 上的零点个数是（）

A、108 B、109 C、144 D、145

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二、填空题

13. 满足 ${x ， y} \cup B = {x ， y ， z}$ 的集合B的个数是.

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14. 若 $f (2^{x}) = \frac{x}{2}$ ，则 $f (8) =$ .

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15. 计算： $\frac{1}{3} \lg 8 + \lg 50 + {(\frac{1}{2})}^{0} + {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} =$ .

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16. 下列判断正确的是(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上).
①函数 $y = \frac{1 + \tan 2 x}{1 - \tan 2 x}$ 的最小正周期为 $π$ ；

②若函数 $f (x) = | \lg x |$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则 $a b = 1$ ；

③若 $\tan^{2} α = 3 \tan^{2} β + 2$ ，则 $3 \sin^{2} α - \sin^{2} β = 2$ ；

④若函数 $y = \frac{{(2 x + 1)}^{2} + \sin x}{4 x^{2} + 1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M + N = 2$ .

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ .

(1)、求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、设集合 $C = {x | (x - a) (x - 2) \leq 0}$ .若 $C \cup A = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 设函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3}) (x \in R)$ .

(1)、在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{6}]$ 上的简图(请先列表，再描点连线)；

(2)、若 $f (\frac{θ}{2}) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin (θ + \frac{π}{6}) + 2 \cos (θ + \frac{5 π}{3})$ 的值.

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19. 设函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2}{x}$ .

(1)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \sqrt{2})$ 上是减函数；

(2)、若不等式 $f (x) \geq e^{x - 1} - \log_{2} m$ 对任意 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值.

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20. 为减少人员聚集，某地上班族 $S$ 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当 $S$ 中有 $x % (0 < x < 100)$ 的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为： $f (x) = {\begin{array}{l} 30 ， 0 < x \leq 30 \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90 ， 30 < x < 100 \end{array}$ ，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受 $x$ 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：

(1)、当 $x$ 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？

(2)、已知上班族 $S$ 的人均上班时间计算公式为： $g (x) = f (x) \cdot x % + 50 (100 - x) %$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)

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21. 设函数 $f (x) = 4 \sin ω x \cos (ω x - \frac{π}{6}) - 1$ 的最小正周期为 $π$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + m$ 在 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = \frac{a^{2 x} - t + 1}{a^{x}}$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、若 $f (1) > 0$ ，求使不等式 $f (2 x^{2} - x) + f (x^{2} - k) > 0$ 对 $x \in R$ 恒成立的实数 $k$ 的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，函数 $g (x) = \log_{a} (f (x) + 1)$ .若对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 1]$ ，都有 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq M$ ，求 $M$ 的最小值.

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