江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、2π D、4π

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2. 设集合 $U = {0, 1, 3, 5, 6, 8}$ ， $A = {1, 5, 8} ， B = {2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 ${0, 2, 3, 6}$ B、 ${0, 3, 6}$ C、 ${1, 2, 5, 8}$ D、 $\emptyset$

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 2 x + 1$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} < 2 x + 1$ B、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \leq 2 x + 1$ C、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} > 2 x + 1$ D、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} \leq 2 x + 1$

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4. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，则 $f (1) =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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5. $\sin (- \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、- $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从100提升至900，则C大约增加了（）( $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ )

A、28% B、38% C、48% D、68%

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二、多选题

9. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ 则下列结论正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $c < 0$ C、 $a - b + c > 0$ D、 $a + b + c > 0$

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10. 下列说法正确的是（）

A、已知方程 $e^{x} = 8 - x$ 的解在 $(k ， k + 1) (k \in Z)$ 内，则 $k = 1$ B、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ 的零点是 $(- 1 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ C、函数 $y = 3^{x}$ ， $y = \log_{3} x$ 的图像关于 $y = x$ 对称 D、用二分法求方程 $3^{x} + 3 x - 8 = 0$ 在 $x \in (1 ， 2)$ 内的近似解的过程中得到 $f (1) < 0$ ， $f (1.5) > 0$ ， $f (1.25) < 0$ ，则方程的根落在区间 $(1.25 ， 1.5)$ 上

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11. 已知幂函数 $f (x) = x^{a}$ 的图象经过点 $(4 ， 2)$ ，则下列命题正确的有（）

A、该函数在定义域上是偶函数 B、对定义域上任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0$ C、对定义域上任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ D、对定义域上任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $f (x_{1} \cdot x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$

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12. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{3} x - \frac{π}{3})$ B、若把 $f (x)$ 的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，纵坐标不变，得到的函数在 $[- \frac{2 π}{3} ， \frac{4 π}{3}]$ 上是增函数 C、若把函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，则所得函数是奇函数 D、 $\forall x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ ，若 $f (3 x) + a \geq f (\frac{3 π}{2})$ 恒成立，则a的范围为 $[\sqrt{3} + 2 ， + \infty)$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{x - 1} + \lg (1 + 2 x)$ 的定义域为.

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14. 若命题 $P ： \forall x \in R$ ， $a x^{2} + 2 \sqrt{2} x + a - 1 \geq 0$ 是真命题，则实数a的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0)$ ， $f (x_{1}) = 1$ ， $f (x_{2}) = 0$ ， ${| x_{1} - x_{2} |}_{\min} = \frac{π}{4}$ ，对任意 $x \in R$ 恒有 $f (x) \leq f (\frac{5 π}{12})$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调增区间.

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16. 若函数 $f (x) = \log_{a} (x^{2} - 2 a x + 3)$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )，满足对任意的 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ ，当 $x_{1} < x_{2} \leq a$ 时， $f (x_{1}) - f (x_{2}) > 0$ ，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 是第二象限角.

(1)、求 $\cos α$ ， $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\cos (- α) \sin (π + α)}{\tan (π - α) \sin (\frac{π}{2} - α)}$ 的值.

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18. 在① $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ② $A = {x ∣ \frac{2 x - 2}{x + 1} < 1}$ ③ $A = {x ∣ y = \log_{2} \frac{3 - x}{x + 1}}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.
设全集 $U = R$ ，______， $B = [a - 1 ， a + 6]$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.

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19. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2$ ， $x \in [0 ， 4]$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 2 a + 1$ 对任意 $x \in [0 ， 4]$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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20. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：

时刻	2：00	5：00	8：00	11：00	14：00	17：00	20：00	23：00
水深/米	7.0	5.0	3.0	5.0	7.0	5.0	3.0	5.0

经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 $f (t) = A \sin (ω t + φ) + B (A ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 来描述.

(1)、根据以上数据，求出函数

f (t) = A \sin (ω t + φ) + B

的表达式；

(2)、一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？

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21. 已知 $f (x) + g (x) = \log_{2} (2 - x)$ ，其中 $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在其定义域上的单调性；

(3)、解关于t不等式 $f (t - 1) + f (2 t + 1) - 3 t > 0$ .

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22. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{| x - m |}$ ，其中 $m \in R$ .

(1)、当函数 $f (x)$ 为偶函数时，求m的值；

(2)、若 $m = 0$ ，函数 $g (x) = f (x) + k {(\sqrt{3})}^{x} - 1$ ， $x \in [- 2 ， 0]$ ，是否存在实数k，使得 $g (x)$ 的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；

(3)、设函数 $h (x) = \frac{m x}{3 x^{2} + 27}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} h (x) ， x \geq 3 \\ 9 f (x) ， x < 3 \end{array}$ ，若对每一个不小于3的实数 $x_{1}$ ，都有小于3的实数 $x_{2}$ ，使得 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数m的取值范围.

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