甘肃省张掖市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U ＝ {x | 0 < x < 5 ， x \in Z}$ ，集合 $A ＝ {1 ， 2}$ ， $B ＝ {2 ， 3}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) ＝$ （）

A、 ${1 ， 3 ， 4}$ B、 ${3 ， 4}$ C、{3} D、{4}

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2. 函数 $f (x) = \frac{\lg (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $[- 1, 1) \cup (1, + \infty)$

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3. 圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 9$ 与圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、内含 B、内切 C、相交 D、外切

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4. 若直线经过两点 $A (m ， 2)$ ， $B (- m ， 2 m - 1)$ 且倾斜角为45°，则m的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）

A、 $8 - \frac{2 π}{3}$ B、 $8 - \frac{π}{3}$ C、 $8 - 2 π$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. $α$ ， $β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，则下列命题中错误的是（）

A、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，那么 $α ⊥ β$ B、如果 $m \subset α$ ， $α // β$ ，那么 $m // β$ C、如果 $α \cap β = l$ ， $m // α$ ， $m // β$ ，那么 $m // l$ D、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，那么 $α ⊥ β$

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7. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a + 2}$ 是偶函数，则函数 $g (x) = \log_{m} (x - a) + 3 (0 < m < 1)$ 恒过定点（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(3, 3)$

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8. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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9. 过点 $A (1 ， - 1)$ 与 $B (- 1 ， 1)$ 且圆心在直线 $x + y - 2 = 0$ 上的圆的方程为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$

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10. 如下图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} B$ 与直线 $A C$ 所成的角是 $45 °$ B、直线 $A_{1} B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角是 $30 °$ C、二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小是 $60 °$ D、直线 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B_{1} C D$ 所成的角是 $30 °$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \ln | x |$ ，若 $a = f (2^{1.1})$ ， $b = f (- 1)$ ， $c = f (\log_{2} 3)$ ，则实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} a - x^{2} - 4 x (x < 0) \\ f (x - 2) (x \geq 0) \end{matrix}$ ，且函数 $y = f (x) - 2 x$ 恰有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是．（）

A、 $[- 4 ， + \infty)$ B、 $[- 8 ， + \infty)$ C、 $[- 4 ， 0]$ D、 $(0 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{4} x ， x > 0 \\ 3^{- x} ， x \leq 0 \end{array} ，$ 则 $f [f (\frac{1}{4})] =$ .

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14. 已知直线 $l_{1} : a x - y + a = 0$ ， $l_{2} : (2 a - 3) x + a y - a = 0$ 互相平行，则 $a =$ .

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15. 已知点 $A (- 5 ， 0) ， B (- 1 ， - 3)$ ，点P是圆 $C_{：} {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 $Δ P A B$ 面积的最大值是.

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16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑 $M - A B C$ 中， $M A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $M A = A B = B C = 2$ ，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为．

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三、解答题

17.

(1)、求 ${(2021)}^{0} + {(\frac{1}{8})}^{- \frac{1}{3}} + \sqrt[4]{{(3 - π)}^{4}}$ 的值；

(2)、求 $7^{\log_{7} 2} - \ln \sqrt{e} + \lg 25 + 2 \lg 2$ 的值．

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18. 求满足下列条件的直线方程：(要求把直线的方程化为一般式)

(1)、经过点 $A (2 ， - 3)$ ，且斜率等于直线 $y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$ 的斜率的 $2$ 倍；

(2)、经过点 $A (- 5 ， 2)$ ，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．

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19. 如图，在三棱锥 $V - A B C$ 中，平面 $V A B ⊥$ 平面 $A B C ， Δ V A B$ 为等边三角形， $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C = \sqrt{2} ， O ， M$ 分别为 $A B ， V A$ 的中点．

(1)、求证： $V B //$ 平面 $M O C$ ；

(2)、求证：平面 $M O C ⊥$ 平面 $V A B$ ；

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20. 已知二次函数 $f (x)$ 满足条件 $f (0) = 0$ 和 $f (x + 2) - f (x) = 4 x$ ，

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[a, a + 2]$ （ $a \in R$ ）上的最小值 $g (a)$

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21. 已知点P是圆C：(x－3)²＋y²＝4上的动点，点A(－3，0)，M是线段AP的中点．

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、若点M的轨迹与直线l：2x－y＋n＝0交于E，F两点，若直角坐标系的原点 $O$ 在以线段 $E F$ 为直径的圆上，求n的值．

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22. 已知 $f (x) = e^{x}$ 能表示成一个奇函数 $g (x)$ 和一个偶函数 $h (x)$ 的和.

(1)、请分别求出 $g (x)$ 与 $h (x)$ 的解析式；

(2)、记 $F (x) = \frac{g (x)}{h (x)}$ ，请判断函数 $F (x)$ 的奇偶性和单调性，并分别说明理由.

(3)、若存在 $x \in [\frac{1}{e} ， e^{2}]$ ，使得不等式 $F [{(\ln x)}^{2} - m] + F (3 - \ln x^{2}) > 0$ 能成立，请求出实数 $m$ 的取值范围.

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