甘肃省庆阳市宁县2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）

A、{x|2<x≤3} B、{x|2≤x≤3} C、{x|1≤x<4} D、{x|1<x<4}

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2. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (- 1 ， 0 ， 2)$ 关于坐标原点的对称点为 $B$ ，则 $| A B | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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3. 已知 $f (x - 1) = x^{2} + 1$ ，则 $f (5) =$ （）

A、37 B、35 C、26 D、29

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4. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 和 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 5 x + 4 = 0$ ，则两圆的位置关系是（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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5. 若直线 $l_{1} ： x + a y + 6 = 0$ 与 $l_{2} ： (a - 2) x + 3 y + 2 a = 0$ 平行，则实数 $a =$ （）

A、3 B、-1 C、3或-1 D、2

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} \cdot (a + \frac{1}{2^{x} + 1})$ 是R上的奇函数，则实数 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、1

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7. 已知奇函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，若 $a = - f (\log_{2} \frac{1}{5})$ ， $b = f (\log_{2} \frac{6}{5})$ ， $c = f (2^{0.8})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8. 函数 $f (x) = e^{x - 2} - \frac{1}{x + 2} - 2$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0，1)$ B、 $(1，2)$ C、 $(2，3)$ D、 $(3，4)$

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、4 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、6

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \geq 2 ， \\ f (x + 4) ， x < 2 ， \end{array}$ 则 $f (- 1) - f (4)$ 等于（）

A、-7 B、-2 C、7 D、17

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11. 已知 $m ， n ， l$ 为三条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，给出下列命题：
①由 $α // β ， m \subset α ， n \subset β ，$ 得 $m$ 与 $n$ 平行或者异面②由 $m // n ， m ⊥ α ， n ⊥ l ，$ 得 $l // α$ 或 $l \subset α$ ③由 $n ⊥ α ， m // α ，$ 得 $m ⊥ n$ ④由 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， α ⊥ β ， l ⊥ m ，$ 得 $l // n$ 其中错误命题的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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12. 设方程 $5- x = | \lg x |$ 的两个根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} x_{2} < 0$ B、 $x_{1} x_{2} = 1$ C、 $x_{1} x_{2} > 1$ D、 $0 < x_{1} x_{2} < 1$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{\ln (x + 1)} + \sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域为．

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14. 计算： $\lg 14 - 2 \lg \frac{7}{3} + \lg 7 - \lg 18 =$ ．

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15. 已知 $△ A B C$ 的斜二测直观图如图所示，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 已知点 $P (x ， y)$ 是直线 $x + k y + 2 = 0 (k < 0)$ 上一动点， $P A ， P B$ 是圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线， $A ， B$ 为切点，若弦 $A B$ 长的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $k$ 的值为

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + y - 3 = 0$ ，直线 $l_{2} ： a x - 2 y + 1 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 直线 $l_{2}$ 平行，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 垂直，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标.

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18. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{e^{x} + 1}$ 为奇函数，

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(3)、解不等式 $f (l n x)$ >0.

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19. 2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎.今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司.该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产 $x$ 台的总收益满足函数 $R (x) = {\begin{array}{l} 480 x - \frac{1}{2} x^{2} ， 0 \leq x \leq 500 \\ 115000 ， x > 500 \end{array}$ ，其中 $x$ 是仪器的月产量.

(1)、将月利润 $f (x)$ 表示为月产量的 $x$ 的函数；（总收益=总成本+利润）

(2)、当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $P C = P D = \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $P D$ $/ /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求证： $P D ⊥$ 平面 $P B C$ .

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21. 已知圆C与y轴相切于点 $A (0 ， 1)$ ，且被x轴所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，圆心C在第一象限.
（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若点P是直线 $l ： 2 x + y + 5 = 0$ 上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△ $P B C$ 的面积最小时，求切线 $P B$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{4}{2 a^{x} + a} (a > 0 ， a \neq 1)$ 且 $f (0) = 0$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = (2^{x} + 1) \cdot f (x) + k$ 有零点，求实数 $k$ 的取值范围．

(3)、当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) > m \cdot 2^{x} - 2$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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