福建省三明市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 < x \leq 2}$ ， $B = {x | x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 2]$

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2. 下列各式中正确的是（）

A、 $\frac{π}{6} r a d = 60 °$ B、 $\frac{3 π}{4} r a d = 120 °$ C、 $150 ° = \frac{5 π}{6} r a d$ D、 $180 ° = 2 π r a d$

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3. 下列各组函数中表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{x}$ ， $g (x) = x + 2$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ ， $g (t) = t^{2} - 3 t$ C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ ， $g (x) = x$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = x$

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4. 若幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 4)$ ，则 $f (3)$ 的值为（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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5. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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7. 已知角 $α$ 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边落在直 $y = - \sqrt{3} x$ 上，则 $4 \cos α - \sin^{2} α$ 的值是（）

A、 $- \frac{11}{4}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $- \frac{11}{4}$ 或 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{5}{4}$

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x - 2) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in [- 2 ， 0)$ 时， $f (x) = - 2 x (x + 2)$ ．若对任意 $x \in [m ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq \frac{3}{4}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{3}{4} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ C、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (1 - x) (a > 0 ， a \neq 1)$ ，下列关于 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(- \infty ， 1)$ B、 $f (x)$ 的值域是 $R$ C、 $f (x)$ 的图象过原点 D、当 $a > 1$ 时， $f (x)$ 在定义域上是增函数

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11. 下列四个命题中为假命题的是（）

A、 $\exists x \in (0 ， 1)$ ， $2^{x} = \frac{1}{x}$ B、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x - 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x - 1 < 0$ ” C、设 $p ： 1 < x < 2$ ， $q ： 2 x > 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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12. 随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以 $O$ 为圆心，半径为 $5$ ，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形人工湖 $O A B$ ， $O M$ 、 $O N$ 是分别由 $O A$ 、 $O B$ 延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与 $\overset{⌢}{A B}$ 相切于点 $F$ ，且与 $O M$ 、 $O N$ 分别相交于 $C$ 、 $D$ ，另两条是分别和湖岸 $O A$ 、 $O B$ 垂直的 $F G$ 、 $F H$ （垂足均不与 $O$ 重合）．在 $△ O C D$ 区域以内，扇形人工湖 $O A B$ 以外的空地铺上草坪，则（）

A、 $∠ F O D$ 的范围是 $(0 ， \frac{2 π}{3})$ B、新增步道 $C D$ 的长度可以为 $20$ C、新增步道 $F G$ 、 $F H$ 长度之和可以为 $7$ D、当点 $F$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，草坪的面积为 $25 \sqrt{3} - \frac{25 π}{3}$

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三、填空题

13. 函数f（x）= $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域是．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} ， x < 1 \\ \log_{4} x ， x \geq 1 \end{array}$ ，则满足 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的 $x$ 的值是．

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15. 若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2} = \frac{1}{2}$ ，则 $a b + a + b$ 的最小值为．

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16. 已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = - \frac{3}{5} (- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ ， $\sin (2 α + \frac{π}{12}) =$ ．

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四、解答题

17. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}$ ， $B = {x ∣ a \leq x \leq a + 2}$ ．

(1)、求 $C_{R} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知 $\sin α = - \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 为第四象限角

(1)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + α) \sin (2 π + α)}{\tan (- α - π) \cos (- π + α)}$ 的值；

(2)、求 $\frac{1 + \sin 2 α - \cos 2 α}{1 + \sin 2 α + \cos 2 α}$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增还是单调递减，并证明你的判断；

(2)、若 $x \in [1 ， m]$ ， $f (x)$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的值．

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20. 某市居民用电收费方式有以下两种，用户可自由选择其中一种

方式一：阶梯式递增电价，即把居民用户每月用电量划分为三档，电价实行分档递增，具体电价如下表：

档数	月均用电量（度）	电价（元/度）
第一档	不超过230度的部分	0.5
第二档	超过230度至420度的部分	0.6
第三档	420度以上的部分	0.8

方式二：阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价，即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费，然后高峰时段 $(8 ： 00 - 22 ： 00)$ 用每度加价0.03元，低谷时段（22：00至次日 $8 ： 00$ ）每度降价0.20元，得出用户的总电费．

(1)、假设某居民用户月均电量为

x

度，按方式一缴费，月均电价为

y

元，求

y

关于

x

的函数解析式；

(2)、若该用户某月用电

a

度

(0 < a < 420)

，其中高峰电量占该月总电量的

\frac{2}{3}

，按方式二缴费，电费为143元，求该月用电量．

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21. 函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、写出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，讨论关于 $x$ 的方程 $f (x) - \sqrt{3} \cdot g (x) - m = 0$ $(- 1 < m \leq 1)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， π]$ 上的实数解的个数．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{f (2 x)}{2 f (x)}$ ， $F (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ．

(1)、求 $g (x)$ 、 $F (x)$ 的解析式．

(2)、若存在 $x \in [\frac{1}{e} ， e^{2}]$ ，使得不等式 $F [{(\ln x)}^{2} - m] + F (3 - \ln x^{2}) > 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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